Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
D=z in C: Re(z^2)>0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = ,zinC:Re(z^2)>0
e classificar em aberta/fechada, limitada/ilimitada e conexa/desconexa. Vamos usar a representação z=x+iy e a definição de parte real.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2,i,x,y,
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Re(z^2) = x^2 - y^2

Passo 3

A condição Re(z^2)>0 vira
x^2 - y^2 > 0 Long<=ftrightarrow x^2 > y^2 Long<=ftrightarrow |x| > |y|
Isto significa que os pontos (x,y) estão entre as retas y = x e y = -x, excluindo essas retas.

Passo 4

O esboço fica com duas “fatias” abertas de 90circ cada, centradas nos eixos reais positivo e negativo:
  • Uma fatia entre as retas y=x e y=-x para x>0.
  • Outra fatia entre as mesmas retas para x<0.
As fronteiras y=pm x não pertencem a D, e as fatias se estendem indefinidamente.

Passo 5

A região D é
aberta, pois usa estrita “>” e não inclui as retas de fronteira;
ilimitada, pois as fatias se estendem até o infinito;
desconexa, pois há duas componentes (a fatia em x>0 e a fatia em x<0), separadas pelas linhas y=pm x.

Resposta

Esboço: duas fatias abertas de 90circ ao redor de +e de - eixo real, excluindo as retas y=pm x.
Classificação: aberta, ilimitada e desconexa.

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