Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
Passo 1
O enunciado pede o esboço de
no plano complexo e a sua classificação em aberta/fechada, limitada/ilimitada e conexa/desconexa. Vamos usar geometria de locus (pontos equidistantes) e noções de topologia no plano.
Passo 2
Encontrar a fronteira resolvendo
Escrevendo
, temos
Igualando:
Portanto a fronteira é a reta vertical
.
Passo 3
Determinar de que lado fica
. Teste
:
e
. Logo
isto é, o meio-plano à esquerda da reta
.
Passo 4
Esboço gráfico (plano
):
– Eixo real horizontal, eixo imaginário vertical.
– Reta tracejada em (fronteira não incluída).
– Região sombreada à esquerda dela (onde ).
– Reta tracejada em
– Região sombreada à esquerda dela (onde
Passo 5
Classificação de
:
– Aberta: a desigualdade é estrita, então a fronteira não está em
.
– Ilimitada: o meio-plano estende-se ao infinito.
– Conexa: é um único meio-plano sem partes separadas.
– Ilimitada: o meio-plano estende-se ao infinito.
– Conexa: é um único meio-plano sem partes separadas.
Resposta
A região
é aberta, ilimitada e conexa.