Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
D=z in C:|z-1|>|z|

Passo 1

O enunciado pede o esboço de
D = ,zinC : |z-1| > |z|,
no plano complexo e a sua classificação em aberta/fechada, limitada/ilimitada e conexa/desconexa. Vamos usar geometria de locus (pontos equidistantes) e noções de topologia no plano.

Passo 2

Encontrar a fronteira resolvendo
|z-1| = |z|
Escrevendo z = x + iy, temos
|z-1|^2 = (x-1)^2 + y^2, |z|^2 = x^2 + y^2
Igualando:
(x-1)^2 + y^2 = x^2 + y^2 ;Longrightarrow; x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 ;Longrightarrow; -2x + 1 = 0 ;Longrightarrow; x = tfrac12
Portanto a fronteira é a reta vertical Re(z)=tfrac12.

Passo 3

Determinar de que lado fica D. Teste z=0:
|0-1| = 1, |0| = 0, 1 > 0 (verdadeiro),
e Re(0)=0<tfrac12. Logo
D = ,z: Re(z) < tfrac12,
isto é, o meio-plano à esquerda da reta x=tfrac12.

Passo 4

Esboço gráfico (plano x+iy):
– Eixo real horizontal, eixo imaginário vertical.
– Reta tracejada em x=tfrac12 (fronteira não incluída).
– Região sombreada à esquerda dela (onde Re(z)<tfrac12).

Passo 5

Classificação de D:
– Aberta: a desigualdade é estrita, então a fronteira não está em D.
– Ilimitada: o meio-plano estende-se ao infinito.
– Conexa: é um único meio-plano sem partes separadas.

Resposta

A região D é aberta, ilimitada e conexa.

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