Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e classificar topologicamente a região
Conteúdo envolvido: conversão para coordenadas reais, identificação de curva de contorno (hipérbole) e classificação em aberta/fechada, limitada/ilimitada e conexa/desconexa.
Passo 2
Escrevemos
com
. Então
logo
A condição
vira
Passo 3
A igualdade
é uma hipérbole com duas ramas, centrada na origem e direcionada para a direita e para a esquerda. A desigualdade
corresponde ao conjunto de pontos entre (e incluindo) essas duas ramas.
Passo 4
Esboço gráfico:
- Trace os eixos
e . - Desenhe a hipérbole
, com ramas abrindo para e . - Sombreie toda a região “entre” as ramas, isto é, para cada
, os que satisfazem .
Passo 5
Classificação topológica:
- Aberta/Fechada: como usamos “
”, a fronteira está incluída em , logo é fechada. - Limitada/Ilimitada: para
temos , portanto não é limitada (é ilimitada). - Conexa/Desconexa: o conjunto entre as duas ramas forma uma única peça contínua, logo
é conexa.
Resposta
A região é fechada, ilimitada e conexa.