Faça um esboço gráfico das regiões abaixo descritas e as classifique em aberta/fechada, limitada/ilimitada, conexa/desconexa:
D=z in C: Re(z^2) <= 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e classificar topologicamente a região
D = ,zinC : Re(z^2)<=1
Conteúdo envolvido: conversão para coordenadas reais, identificação de curva de contorno (hipérbole) e classificação em aberta/fechada, limitada/ilimitada e conexa/desconexa.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,yinR. Então
z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2,i,x,y,
logo
Re(z^2) = x^2 - y^2
A condição Re(z^2)<=1 vira
x^2 - y^2 <= 1

Passo 3

A igualdade
x^2 - y^2 = 1
é uma hipérbole com duas ramas, centrada na origem e direcionada para a direita e para a esquerda. A desigualdade
x^2 - y^2 <= 1
corresponde ao conjunto de pontos entre (e incluindo) essas duas ramas.

Passo 4

Esboço gráfico:
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Desenhe a hipérbole x^2 - y^2 = 1, com ramas abrindo para x>0 e x<0.
  3. Sombreie toda a região “entre” as ramas, isto é, para cada y, os x que satisfazem -raiz1+y^2<= x<=raiz1+y^2.

Passo 5

Classificação topológica:
  • Aberta/Fechada: como usamos “ <=”, a fronteira x^2-y^2=1 está incluída em D, logo D é fechada.
  • Limitada/Ilimitada: para |y|toinfty temos raiz1+y^2toinfty, portanto D não é limitada (é ilimitada).
  • Conexa/Desconexa: o conjunto entre as duas ramas forma uma única peça contínua, logo D é conexa.

Resposta

A região é fechada, ilimitada e conexa.

Exercícios relacionados