integral0^2 raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2raizx+1,dx
Este é um problema de cálculo de integral de função composta, e vamos usar substituição para facilitar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + 1,
o que implica
du = dx
Quando x = 0, temos u = 1.
Quando x = 2, temos u = 3.

Passo 3

Sob essa mudança de variável, a integral original fica
integral0^2raizx+1,dx = integralu=1^u=3 raizu,du = integral1^3 u^tfrac12,du

Passo 4

Para integrar u^tfrac12, usamos a fórmula de potência:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32

Passo 5

Agora avaliamos essa primitiva de u=1 a u=3:
23,u^tfrac32|1^3 = 23l(3^tfrac32-1^tfrac32r)

Passo 6

Como 3^tfrac32=(raiz3)^3=3raiz3, temos
23l(3raiz3-1r) = 2raiz3-23

Resposta

2raiz3-23

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