Faça o esboço do gráfico de h. Em seguida encontre cada um dos seguintes limites, se existirem: lim x 1^- h(x), lim x 1^+ h(x) e lim x 1 h(x), onde:
h(x)=lll4-x^2, & se & x <= 1, 2+x^2, & se & x>1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
h(x)= 4 - x^2, & x <= 1, 2 + x^2, & x > 1,
pede o esboço do gráfico de h e os limites laterais em x=1, isto é, limxto1^-h(x), limxto1^+h(x) e o limite geral limxto1h(x). Vamos usar geometria de parábolas e avaliação de limites em pontos de mudança de ramo.

Passo 2

Esboço do gráfico:
  • Para x<=1, temos a parábola de concavidade para baixo dada por y=4-x^2. Seu vértice está em (0,4) e em x=1 vale y=4-1^2=3. Como o ramo vale também em x=1, desenhamos um ponto cheio em (1,3).
  • Para x>1, temos a parábola de concavidade para cima dada por y=2+x^2. Seu vértice está em (0,2), mas só consideramos a partir de x=1. Em x=1 vale y=2+1^2=3, porém não está incluído, então desenhamos um ponto aberto em (1,3).
    O gráfico resulta em duas curvas suaves que se encontram em (1,3), uma com ponto fechado (ramo esquerdo) e outra com ponto aberto (ramo direito).

Passo 3

Cálculo de limxto1^-h(x):
para x<1 usamos h(x)=4-x^2. Logo,
limxto1^-h(x)=4-1^2=3

Passo 4

Cálculo de limxto1^+h(x):
para x>1 usamos h(x)=2+x^2. Logo,
limxto1^+h(x)=2+1^2=3

Passo 5

Como os limites laterais coincidem, temos
limxto1h(x)=3
Além disso, h(1)=4-1^2=3, de modo que h é contínua em x=1.

Resposta

limxto1^-h(x)=3,limxto1^+h(x)=3,limxto1h(x)=3

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