Faça o esboço do gráfico de . Em seguida encontre cada um dos seguintes limites, se existirem: e , onde:
Passo 1
O enunciado define a função por partes
h(x)= 4 - x^2, & x <= 1, 2 + x^2, & x > 1,
pede o esboço do gráfico de h e os limites laterais em x=1, isto é, limxto1^-h(x), limxto1^+h(x) e o limite geral limxto1h(x). Vamos usar geometria de parábolas e avaliação de limites em pontos de mudança de ramo.
Passo 2
Esboço do gráfico:
Para x<=1, temos a parábola de concavidade para baixo dada por y=4-x^2. Seu vértice está em (0,4) e em x=1 vale y=4-1^2=3. Como o ramo vale também em x=1, desenhamos um ponto cheio em (1,3).
Para x>1, temos a parábola de concavidade para cima dada por y=2+x^2. Seu vértice está em (0,2), mas só consideramos a partir de x=1. Em x=1 vale y=2+1^2=3, porém não está incluído, então desenhamos um ponto aberto em (1,3).
O gráfico resulta em duas curvas suaves que se encontram em (1,3), uma com ponto fechado (ramo esquerdo) e outra com ponto aberto (ramo direito).
Passo 3
Cálculo de limxto1^-h(x):
para x<1 usamos h(x)=4-x^2. Logo,
limxto1^-h(x)=4-1^2=3
Passo 4
Cálculo de limxto1^+h(x):
para x>1 usamos h(x)=2+x^2. Logo,
limxto1^+h(x)=2+1^2=3
Passo 5
Como os limites laterais coincidem, temos
limxto1h(x)=3
Além disso, h(1)=4-1^2=3, de modo que h é contínua em x=1.