Uma função f satisfaz as condições indicadas. Esboce um gráfico de f, supondo que ele não corte uma assíntota horizontal.
lim x -infty f(x)=1 ; lim x +infty f(x)=1;
lim x 3^- f(x)=-infty ; lim x 3^+ f(x)=+infty

Passo 1

O enunciado diz que tem assíntota horizontal em (já que e ) e assíntota vertical em (pois e ). Vamos esboçar essas assíntotas e depois determinar o comportamento de em cada ramo.

Passo 2

Desenhe a reta horizontal
y=1
como assíntota que não é cruzada pela curva, e a reta vertical
x=3
como limite onde f tende a -infty à esquerda e a +infty à direita.

Passo 3

Para x<3, a função deve vir de perto de y=1 quando xto-infty e decair sem limite inferior ao nos aproximarmos de 3 pela esquerda. Assim, esboçamos um ramo que sai de ligeiramente abaixo (ou acima) de y=1 lá em xto-infty e vai até -infty em xto3^-.

Passo 4

Para x>3, a função deve vir de +infty em xto3^+ e aproximar-se de y=1 quando xto+infty. Então traçamos um ramo que sai de cima da assíntota vertical em x=3 e desce lentamente, aproximando-se de y=1 sem cruzá-la.

Resposta

O esboço de f é constituído por dois ramos assim:
  1. Para x<3: ramo decrescente que parte de f(x)approx1 em xto-infty e vai a -infty em xto3^-.
  2. Para x>3: ramo decrescente que parte de +infty em xto3^+ e aproxima-se de f(x)=1 em xto+infty.
As assíntotas são y=1 (horizontal) e x=3 (vertical).

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