Faça um esboço do gráfico das seguintes equações polares:
(12.7) r=3 theta, theta>0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, em coordenadas polares, a curva dada por r=3theta para theta>0. O conteúdo aqui é representação de curvas em coordenadas polares, e vamos precisar entender que tipo de curva surge quando o raio cresce linearmente com o ângulo.

Passo 2

Antes de desenhar, vale notar que a equação r=atheta descreve a espiral de Arquimedes. Nesse tipo de espiral, a cada volta completa (um acréscimo de 2pi em theta) o raio aumenta sempre a mesma quantidade (aqui, 3cdot2pi=6pi).
Para visualizar melhor, podemos converter para coordenadas cartesianas usando x=rcostheta e y=rsintheta. Assim:
x(theta)=3thetacostheta y(theta)=3thetasintheta
Isso confirma que à medida que theta cresce, o ponto gira pulando para fora da origem.

Passo 3

Agora vamos calcular alguns pontos-chave para guiar o esboço:
  • theta=0: r=0 → ponto na origem.
  • theta=pi2: r=tfrac3pi2 → fica acima do eixo x.
  • theta=pi: r=3pi → fica à esquerda da origem.
  • theta=tfrac3pi2: r=tfrac9pi2 → abaixo do eixo x.
  • theta=2pi: r=6pi → completa uma volta maior.

Passo 4

Com esses pontos, você liga suavemente, vendo que a curva sai da origem, gira no sentido anti-horário e se afasta à medida que theta cresce. As voltas ficam espaçadas igualmente, pois o crescimento em r é proporcional a theta.
No esboço, desenhe alguns círculos concêntricos de raio 3pi/2, 3pi, 9pi/2, 6pi como guia, marque os pontos e trace a espiral ligando-os de forma contínua.

Resposta

A curva é uma espiral de Arquimedes dada por r=3theta, girando no sentido anti-horário a partir da origem e afastando-se linearmente com o ângulo.

Exercícios relacionados