Faça um esboço do gráfico das seguintes equações polares:
(12.7)
.
(12.7)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar, em coordenadas polares, a curva dada por
para
. O conteúdo aqui é representação de curvas em coordenadas polares, e vamos precisar entender que tipo de curva surge quando o raio cresce linearmente com o ângulo.
Passo 2
Antes de desenhar, vale notar que a equação
descreve a espiral de Arquimedes. Nesse tipo de espiral, a cada volta completa (um acréscimo de
em
) o raio aumenta sempre a mesma quantidade (aqui,
).
Para visualizar melhor, podemos converter para coordenadas cartesianas usando e
. Assim:
Para visualizar melhor, podemos converter para coordenadas cartesianas usando
Isso confirma que à medida que
Passo 3
Agora vamos calcular alguns pontos-chave para guiar o esboço:
-
: → ponto na origem. -
: → fica acima do eixo . -
: → fica à esquerda da origem. -
: → abaixo do eixo . -
: → completa uma volta maior.
Passo 4
Com esses pontos, você liga suavemente, vendo que a curva sai da origem, gira no sentido anti-horário e se afasta à medida que
cresce. As voltas ficam espaçadas igualmente, pois o crescimento em
é proporcional a
.
No esboço, desenhe alguns círculos concêntricos de raio ,
,
,
como guia, marque os pontos e trace a espiral ligando-os de forma contínua.
No esboço, desenhe alguns círculos concêntricos de raio
Resposta
A curva é uma espiral de Arquimedes dada por
, girando no sentido anti-horário a partir da origem e afastando-se linearmente com o ângulo.