Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
a) f(x)=x^{2}-3 x+4

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o esboço do gráfico da função dada e me fornece explicitamente a expressão da função. Dados extraídos do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2}-3x+4.
    O que é pedido:
  • Esboçar o gráfico de f (ou seja, identificar os pontos e características principais que permitem desenhar a parábola).

Passo 2

Identificar o tipo básico da curva olhando para a forma polinomial. A função é um polinômio de segundo grau (forma geral ax^{2}+bx+c) com:
  • a=1, b=-3, c=4.
    Quando a>0 a curva abre para cima; quando a<0 abre para baixo. Portanto aqui a curva abre para cima (vai para +\infty quando x\to\pm\infty).

Passo 3

Calcular o vértice (abscissa) usando a fórmula do vértice para quadráticas. A abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=1 e b=-3:
x_{v} = -\frac{-3}{2\cdot 1} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Calcular a ordenada do vértice substituindo x_{v} em f(x). Vou fazer isso de duas maneiras: direto e completando o quadrado (a segunda é útil didaticamente).
Método direto:
f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot\frac{3}{2}+4.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},\quad -3\cdot\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}=-\frac{18}{4},\quad 4=\frac{16}{4}.
Somando:
f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}+\frac{16}{4}=\frac{7}{4}.
Portanto o vértice é \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right).

Passo 5

Completar o quadrado para obter a forma vértice e assim ver diretamente a posição do mínimo. Partindo de f(x)=x^{2}-3x+4:
f(x)=x^{2}-3x+4=\left(x^{2}-3x+\frac{9}{4}\right)+4-\frac{9}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{7}{4}.
Isso confirma que a parábola está deslocada para a direita em \dfrac{3}{2} e elevada por \dfrac{7}{4}, com mínimo f_{\min}=\dfrac{7}{4} em x=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Calcular interceptos com eixos (pontos úteis para o esboço).
Intercepto em y (quando x=0):
f(0)=0^{2}-3\cdot 0+4=4.
Logo o ponto y-intercepto é (0,4).
Interceptos em x (raízes): usar o discriminante \Delta=b^{2}-4ac. Aqui
\Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7.
Como \Delta<0, não existem raízes reais; portanto a parábola não corta o eixo x.

Passo 7

Calcular alguns pontos simétricos para ajudar no esboço (valores inteiros perto do vértice).
  • f(1)=1^{2}-3\cdot1+4=1-3+4=2. Ponto (1,2).
  • f(2)=2^{2}-3\cdot2+4=4-6+4=2. Ponto (2,2).
    Esses dois pontos mostram a simetria em torno da reta vertical x=\dfrac{3}{2} (e estão logo acima do vértice).
Também um ponto mais à esquerda:
  • f(-1)=(-1)^{2}-3(-1)+4=1+3+4=8. Ponto (-1,8).

Passo 8

Resumir características úteis para desenhar:
  • Abertura: para cima (porque a=1>0).
  • Vértice (mínimo): \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right).
  • Eixo de simetria: a reta vertical x=\dfrac{3}{2}.
  • Intercepto em y: (0,4).
  • Não há interceptos reais em x (sem cortes com o eixo x).
  • Pontos próximos: (1,2), (2,2), (-1,8).
  • Domínio: (-\infty,\infty). Intervalo/contradomínio: \left[\dfrac{7}{4},\infty\right).

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem régua complicada):
  1. Faça dois eixos perpendiculares.
  2. Marque a abscissa x=\dfrac{3}{2} (entre 1 e 2) e a ordenada y=\dfrac{7}{4} (entre 1 e 2); desenhe o vértice \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right).
  3. Trace a reta de simetria vertical x=\dfrac{3}{2} pontilhada (opcional).
  4. Marque o ponto (0,4) e os pontos (1,2) e (2,2); eles ajudam a dar a forma correta.
  5. Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que passa pelo vértice e sobe indefinidamente nas duas extremidades.
  6. Indique que a curva não cruza o eixo x e que cresce para +\infty quando x\to\pm\infty.

Passo 10

Dica final de prova: quando pedirem “esboçar”, foque em identificar vértice, direção da abertura, interseções com eixos, eixo de simetria e 2–3 pontos extras — isso é suficiente para um esboço correto e rápido.

Resposta

Vértice: \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right)
Abertura: para cima ( a=1>0 )
Eixo de simetria: x=\dfrac{3}{2}
Intercepto em y: (0,4)
Interceptos em x: nenhum ( \Delta=-7<0 )
Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem (contradomínio): \left[\dfrac{7}{4},\infty\right)

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