Faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o esboço do gráfico da função dada e me fornece explicitamente a expressão da função. Dados extraídos do enunciado:
- A função é
.
O que é pedido: - Esboçar o gráfico de
(ou seja, identificar os pontos e características principais que permitem desenhar a parábola).
Passo 2
Identificar o tipo básico da curva olhando para a forma polinomial. A função é um polinômio de segundo grau (forma geral
) com:
-
, , .
Quandoa curva abre para cima; quando abre para baixo. Portanto aqui a curva abre para cima (vai para quando ).
Passo 3
Calcular o vértice (abscissa) usando a fórmula do vértice para quadráticas. A abscissa do vértice é
Substituindo
e
:
Passo 4
Calcular a ordenada do vértice substituindo
em
. Vou fazer isso de duas maneiras: direto e completando o quadrado (a segunda é útil didaticamente).
Método direto:
Calcule passo a passo:
Somando:
Portanto o vértice é
.
Passo 5
Completar o quadrado para obter a forma vértice e assim ver diretamente a posição do mínimo. Partindo de
:
Isso confirma que a parábola está deslocada para a direita em
e elevada por
, com mínimo
em
.
Passo 6
Calcular interceptos com eixos (pontos úteis para o esboço).
Intercepto em
(quando
):
Logo o ponto
-intercepto é
.
Interceptos em
(raízes): usar o discriminante
. Aqui
Como
, não existem raízes reais; portanto a parábola não corta o eixo
.
Passo 7
Calcular alguns pontos simétricos para ajudar no esboço (valores inteiros perto do vértice).
-
. Ponto . -
. Ponto .
Esses dois pontos mostram a simetria em torno da reta vertical(e estão logo acima do vértice).
Também um ponto mais à esquerda:
-
. Ponto .
Passo 8
Resumir características úteis para desenhar:
- Abertura: para cima (porque
). - Vértice (mínimo):
. - Eixo de simetria: a reta vertical
. - Intercepto em
: . - Não há interceptos reais em
(sem cortes com o eixo ). - Pontos próximos:
, , . - Domínio:
. Intervalo/contradomínio: .
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem régua complicada):
- Faça dois eixos perpendiculares.
- Marque a abscissa
(entre e ) e a ordenada (entre e ); desenhe o vértice . - Trace a reta de simetria vertical
pontilhada (opcional). - Marque o ponto
e os pontos e ; eles ajudam a dar a forma correta. - Ligue suavemente os pontos formando uma curva em “U” que passa pelo vértice e sobe indefinidamente nas duas extremidades.
- Indique que a curva não cruza o eixo
e que cresce para quando .
Passo 10
Dica final de prova: quando pedirem “esboçar”, foque em identificar vértice, direção da abertura, interseções com eixos, eixo de simetria e 2–3 pontos extras — isso é suficiente para um esboço correto e rápido.
Resposta
Vértice:
Abertura: para cima ( )
Eixo de simetria:
Intercepto em :
Interceptos em : nenhum (
)
Domínio:
Imagem (contradomínio):
Abertura: para cima (
Eixo de simetria:
Intercepto em
Interceptos em
Domínio:
Imagem (contradomínio):