Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
g(x)=x^{2}+\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função
g(x)=x^{2}+\frac{2}{x}\,.
O conteúdo envolvido é análise de função real: domínio, assíntotas, derivadas para monotonia e concavidade, extremos e pontos notáveis. Vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e depois juntar tudo para desenhar a forma do gráfico.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas verticais. A função está definida sempre que o denominador não anula, isto é,
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.í
Em x\to0^{+}, o termo 2/x\to+\infty e x^{2}\to0, logo g(x)\to+\infty.
Em x\to0^{-}, o termo 2/x\to-\infty domina e g(x)\to-\infty.
Portanto x=0 é uma assíntota vertical.

Passo 3

Analisamos o comportamento em infinito. Para \lvert x\rvert\to\infty, o termo dominante é x^{2}, então
\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=+\infty.
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas além da vertical em x=0.

Passo 4

Calculamos a derivada para ver monotonia e extremos:
g'(x)=2x - \frac{2}{x^{2}}\,.
Resolvendo g'(x)=0 obtemos
2x=\frac{2}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Em cada intervalo testamos o sinal de g'(x):
para x<0 temos 2x<0 e -2/x^{2}<0, logo g'(x)<0 (decrescente em (-\infty,0));
para 0<x<1, 2x<2 mas \tfrac{2}{x^{2}}>2, então g'(x)<0 (decrescente em (0,1));
para x>1, 2x>2 e \tfrac{2}{x^{2}}<2, logo g'(x)>0 (crescente em (1,\infty)).
Isso mostra um mínimo local em x=1.

Passo 5

Calculamos o valor do mínimo em x=1:
g(1)=1^{2}+\frac{2}{1}=1+2=3.
Não há máximos locais.
Em seguida encontramos intercepto com o eixo x, resolvendo g(x)=0:
x^{2}+\frac{2}{x}=0 \;\Longrightarrow\; x^{3}+2=0 \;\Longrightarrow\; x=-\sqrt[3]{2}\approx -1{,}26.
O ponto \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr) é interseção com o eixo x.

Passo 6

Agora a concavidade:
g''(x)=2 + \frac{4}{x^{3}}\,.
A inflexão ocorre onde g''(x)=0, ou seja
2 + \frac{4}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=-2 \quad\Longrightarrow\quad x=-\sqrt[3]{2}.
Para x<-\sqrt[3]{2} e para x>0 temos g''(x)>0 (côncavo para cima), e para -\sqrt[3]{2}<x<0 temos g''(x)<0 (côncavo para baixo). O ponto de inflexão é exatamente em \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).

Passo 7

Juntando tudo:
– Domínio (-\infty,0)\cup(0,\infty) com assíntota vertical em x=0.
– Em (-\infty,-\sqrt[3]{2}) a curva decresce de +\infty e é côncava para cima até chegar em \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr).
– De -\sqrt[3]{2} até 0^{-} continua decrescendo mas fica côncava para baixo e vai a -\infty quando x\to0^{-}.
– Em (0,1) vem de +\infty em 0^{+}, decresce e é côncava para baixo até (1,3).
– Em (1,\infty) cresce, é côncava para cima e vai a +\infty em +\infty.

Resposta

O esboço tem duas “ramificações” separadas por x=0.
Para x<0: começa em +\infty em x\to-\infty, decresce côncavo para cima até \bigl(-\sqrt[3]{2},0\bigr), inflete, continua decrescendo côncavo para baixo e vai a -\infty em x\to0^{-}.
Para x>0: vem de +\infty em x\to0^{+}, decresce côncavo para baixo até o mínimo local (1,3), depois cresce côncavo para cima indo a +\infty em x\to+\infty.

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