Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
O conteúdo envolvido é análise de função real: domínio, assíntotas, derivadas para monotonia e concavidade, extremos e pontos notáveis. Vamos usar cálculo de limites, derivadas primeira e segunda, e depois juntar tudo para desenhar a forma do gráfico.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas verticais. A função está definida sempre que o denominador não anula, isto é,
Em
, o termo
e
, logo
.
Em , o termo
domina e
.
Portanto é uma assíntota vertical.
Em
Portanto
Passo 3
Analisamos o comportamento em infinito. Para
, o termo dominante é
, então
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas além da vertical em
.
Passo 4
Calculamos a derivada para ver monotonia e extremos:
Resolvendo
obtemos
Em cada intervalo testamos o sinal de
:
para temos
e
, logo
(decrescente em
);
para ,
mas
, então
(decrescente em
);
para ,
e
, logo
(crescente em
).
Isso mostra um mínimo local em .
para
para
para
Isso mostra um mínimo local em
Passo 5
Calculamos o valor do mínimo em
:
Não há máximos locais.
Em seguida encontramos intercepto com o eixo
, resolvendo
:
O ponto
é interseção com o eixo
.
Passo 6
Agora a concavidade:
A inflexão ocorre onde
, ou seja
Para
e para
temos
(côncavo para cima), e para
temos
(côncavo para baixo). O ponto de inflexão é exatamente em
.
Passo 7
Juntando tudo:
– Domínio com assíntota vertical em
.
– Em a curva decresce de
e é côncava para cima até chegar em
.
– De até
continua decrescendo mas fica côncava para baixo e vai a
quando
.
– Em vem de
em
, decresce e é côncava para baixo até
.
– Em cresce, é côncava para cima e vai a
em
.
– Domínio
– Em
– De
– Em
– Em
Resposta
O esboço tem duas “ramificações” separadas por
.
Para
: começa em
em
, decresce côncavo para cima até
, inflete, continua decrescendo côncavo para baixo e vai a
em
.
Para
: vem de
em
, decresce côncavo para baixo até o mínimo local
, depois cresce côncavo para cima indo a
em
.