• (2,0 pts) Questão 1. Calcule
I=\int_{1}^{e} \int_{1}^{e^{4}} \int_{1}^{e^{3}} \frac{z}{x y} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I=\int_{x=1}^{e}\int_{y=1}^{e^{4}}\int_{z=1}^{e^{3}}\frac{z}{x\,y}\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integral múltipla e fatoração de variáveis independentes, pois a região é um produto de intervalos e a função se separa em z e em x\,y.

Passo 2

Primeiro integramos em z, tratando x e y como constantes:
\int_{1}^{e^{3}}\frac{z}{x\,y}\,dz =\frac{1}{x\,y}\int_{1}^{e^{3}}z\,dz =\frac{1}{x\,y}\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{1}^{e^{3}} =\frac{1}{x\,y}\cdot\frac{e^{6}-1}{2}.
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I=\int_{1}^{e}\int_{1}^{e^{4}}\frac{e^{6}-1}{2}\,\frac{1}{x\,y}\,dy\,dx.

Passo 3

Fatoramos a constante \tfrac{e^{6}-1}{2} e fazemos a integral em y:
\int_{1}^{e^{4}}\frac{1}{y}\,dy =\bigl[\ln y\bigr]_{1}^{e^{4}} =4.
Assim
I=\frac{e^{6}-1}{2}\int_{1}^{e}4\,\frac{1}{x}\,dx =2\bigl(e^{6}-1\bigr)\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx =\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{e} =1.
Portanto
I=2\bigl(e^{6}-1\bigr)\times 1 =2\bigl(e^{6}-1\bigr).

Resposta

I=2\bigl(e^{6}-1\bigr).

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