Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
(três casas decimais)

Passo 1

O objetivo é aproximar a integral integral0^1sin(x^2),dx com erro menor que 0,0005, usando séries de Taylor e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de sin(u), substituindo u=x^2:
sin(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+2(2n+1)!

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1sin(x^2),dx= sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!integral0^1x^4n+2,dx =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,(4n+3)

Passo 4

Para garantir três casas decimais, fazemos o resto da série menor que 0,0005. O termo de índice n é
an=1(2n+1)!,(4n+3)
e o resto após somar até n=2 é limitado por a3:
a3=17!cdot15= rac15040times15= rac175600approx1,3times10^-5<0,0005

Passo 5

Logo basta somar até n=2:
S2=13-13!cdot7+15!cdot11 =13-142+11320approx0,31028
Arredondando para três casas decimais, obtemos 0,310.

Resposta

0,310

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