Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
(33-13) y^prime prime(x)+(1+13) x y(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação que temos é:
(33-13) y^prime prime(x) + (1+13) x y(x) = 0
Primeiro, vamos simplificar os coeficientes e depois aplicar a técnica de séries de potências para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os coeficientes da EDO:
(33 - 13) = 20
(1 + 13) = 14
Então, a equação fica:
20, y^prime prime(x) + 14, x, y(x) = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
10, y^prime prime(x) + 7, x, y(x) = 0

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução da EDO pode ser expressa como uma série de potências. Ou seja, vamos assumir que:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Essa série representa a solução que queremos encontrar, onde an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias da série y(x):
Primeira derivada:
y^prime(x) = sumn=1^infty an n x^n-1
Segunda derivada:
y^prime prime(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2

Passo 5

Substituindo y(x) e y^prime prime(x) na equação simplificada:
10, ( sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 ) + 7, x, ( sumn=0^infty an x^n ) = 0

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para que ambas as séries tenham potências de x^n. Para a segunda soma, multiplicamos x pela série:
7, x, sumn=0^infty an x^n = 7, sumn=0^infty an x^n+1
Agora, fazemos uma mudança de índice para que ambas as séries estejam em termos de x^n:
Na primeira soma, substituímos n por n+2:
10, sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n
Na segunda soma, substituímos n+1 por n:
7, sumn=1^infty an-1 x^n

Passo 7

Agora, reescrevemos a equação com as somas alinhadas:
10, sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n + 7, sumn=1^infty an-1 x^n = 0
Para que essa equação seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x^n devem ser iguais a zero. Portanto, igualamos a soma dos coeficientes a zero para cada n.

Passo 8

Vamos escrever a equação para cada n:
Para n = 0:
10, a2 cdot 2 cdot 1 + 0 = 0
20, a2 = 0 implies a2 = 0
Para n >= 1:
10, an+2 (n+2)(n+1) + 7, an-1 = 0

Passo 9

Vamos resolver a relação de recorrência obtida:
an+2 = -7, an-110, (n+2)(n+1)
Isso nos permite expressar os coeficientes an+2 em termos de an-1.

Passo 10

Para encontrar os coeficientes, precisamos definir a0 e a1 como constantes arbitrárias, já que são as condições iniciais da solução.
Vamos assumir a0 = C e a1 = D, onde C e D são constantes.

Passo 11

Usando a relação de recorrência, calculamos os próximos coeficientes:
Para n = 0:
a2 = 0
Para n = 1:
a3 = -7, a010 cdot 3 cdot 2 = -7C60
Para n = 2:
a4 = -7, a110 cdot 4 cdot 3 = -7D120
E assim por diante.

Passo 12

Substituindo os coeficientes encontrados na série de potências, temos:
y(x) = C ( 1 - 760 x^3 + dots ) + D ( x - 7120 x^4 + dots )
Aqui, C e D são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.

Resposta

A solução geral da EDO usando séries de potências é:
y(x) = C ( 1 - 760 x^3 + dots ) + D ( x - 7120 x^4 + dots )
Onde C e D são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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