Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando séries de potências. A equação que temos é:
Primeiro, vamos simplificar os coeficientes e depois aplicar a técnica de séries de potências para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os coeficientes da EDO:
Então, a equação fica:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução da EDO pode ser expressa como uma série de potências. Ou seja, vamos assumir que:
Essa série representa a solução que queremos encontrar, onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias da série
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e
na equação simplificada:
Passo 6
Vamos ajustar os índices das somas para que ambas as séries tenham potências de
. Para a segunda soma, multiplicamos
pela série:
Agora, fazemos uma mudança de índice para que ambas as séries estejam em termos de
:
Na primeira soma, substituímos
por
:
Na segunda soma, substituímos
por
:
Passo 7
Agora, reescrevemos a equação com as somas alinhadas:
Para que essa equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Portanto, igualamos a soma dos coeficientes a zero para cada
.
Passo 8
Vamos escrever a equação para cada
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Vamos resolver a relação de recorrência obtida:
Isso nos permite expressar os coeficientes
em termos de
.
Passo 10
Para encontrar os coeficientes, precisamos definir
e
como constantes arbitrárias, já que são as condições iniciais da solução.
Vamos assumir
e
, onde
e
são constantes.
Passo 11
Usando a relação de recorrência, calculamos os próximos coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 12
Substituindo os coeficientes encontrados na série de potências, temos:
Aqui,
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais específicas.
Resposta
A solução geral da EDO usando séries de potências é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.