Inicialmente, 3 g de sódio são dissolvidos em um recipiente com 6 l de água. Uma solução sódica passa a ser bombeada para dentro do recipiente a uma taxa de 0,5 l por minuto, sendo que depois de ser bem misturada é drenada na mesma taxa. Considerando-se Q(t) a quantidade de sal após t minutos segue que
Q^prime(t)=Te-Ts,
onde Te e Ts denotam, respectivamente, as taxas de entrada e saída de sal.
(d) Use que Q(0)=3 para encontrar C na expressão acima. Qual seria a quantidade de sal no recipiente após os primeiros 12 minutos?

Passo 1

Estamos diante de um problema de mistura com volume constante. Temos inicialmente Q(0)=3 g de sal num volume de 6 L e entram e saem 0,5 L/min da solução. Seja alpha (g/L) a concentração de sal na solução que entra. A equação de balanço é
Q'(t)=underbrace0,5,alphaTe-underbrace0,5cdotQ(t)6Ts
ou seja
Q'(t)+0,56,Q(t)=0,5,alpha
e notamos que tfrac0,56=tfrac112.

Passo 2

É uma equação linear do tipo
Q'(t)+112Q(t)=0,5,alpha
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral112,dtr)=e^t/12
Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
ddtl(e^t/12Q(t)r)=0,5,alpha,e^t/12

Passo 3

Integramos em t:
e^t/12Q(t)=0,5,alphaintegral e^t/12dt + C =0,5,alphacdot 12,e^t/12+C =6,alpha,e^t/12+C
Logo
Q(t)=6,alpha + C,e^-t/12

Passo 4

Usando a condição inicial Q(0)=3:
3=Q(0)=6,alpha + C,e^0 Longrightarrow C=3-6,alpha

Passo 5

A quantidade de sal após 12 minutos é
Q(12)=6,alpha + (3-6,alpha),e^-12/12 =6,alpha + (3-6,alpha),e^-1

Resposta

C = 3-6,alpha.
Após 12 minutos:
Q(12)=6,alpha+(3-6,alpha)e^-1 g

Exercícios relacionados