Faça um esboço dos gráficos das funções
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, \quad y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}, \quad y=10^{x}, \quad y=4^{x}, \quad y=2^{x} \quad \text { e } \quad y=(1.5)^{x}

Passo 1

O enunciado pede um esboço (um desenho qualitativo) dos gráficos das seis funções abaixo:
y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x},\qquad y=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x},\qquad y=10^{x},\qquad y=4^{x},\qquad y=2^{x},\qquad y=(1{,}5)^{x}.
Informações dadas (cada uma é uma função exponencial com base positiva, diferente de 1):
  • Cada função é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O pedido é um esboço dos gráficos; ou seja, mostrar forma, posição relativa e comportamento no infinito (sem desenhar com régua obrigatório).

Passo 2

Propriedades gerais das funções y=a^{x} que vamos usar (explicadas devagar e com calma):
  • Domínio: \{x\in\mathbb{R}\}. Ou seja, todas as exponenciais estão definidas para qualquer x.
  • Imagem (valor de y): \{y>0\}. Toda exponencial é positiva, nunca cruza o eixo x.
  • Interseção com eixo y: todas passam por (0,1), pois a^{0}=1 para qualquer base a>0.
  • Assíntota horizontal: y=0. Quando x\to+\infty ou x\to-\infty dependendo da base, a curva se aproxima de y=0 sem tocá-la.
  • Monotonia:
    • Se a>1, então y=a^{x} é crescente: valores aumentam quando x aumenta.
    • Se 0<a<1, então y=a^{x} é decrescente: valores diminuem quando x aumenta.
      Isso vem da derivada \displaystyle y'=\ln(a)\,a^{x}: o sinal de \ln(a) decide se cresce ( \ln(a)>0 quando a>1) ou decresce ( \ln(a)<0 quando 0<a<1).
  • Convexidade: a segunda derivada é \displaystyle y''=(\ln a)^{2}a^{x}>0. Portanto todas as exponenciais a^{x} são côncavas para cima (curvas “viradas para cima”), independentemente de a (desde que a\ne1).

Passo 3

Vamos calcular pontos-chave (x,y) para cada função em x=-2,-1,0,1,2. Esses pontos permitem esboçar com segurança.
Tabela de valores (apresentada linha a linha para facilitar desenho):
Para y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}=4,\\\ x=-1&\Rightarrow y=2,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}=0,5,\\\ x=2&\Rightarrow y=\tfrac{1}{4}=0,25. \end{aligned}
Para y=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=16,\\\ x=-1&\Rightarrow y=4,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=0,25,\\\ x=2&\Rightarrow y=0,0625. \end{aligned}
Para y=10^{x}:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=0,01,\\\ x=-1&\Rightarrow y=0,1,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=10,\\\ x=2&\Rightarrow y=100. \end{aligned}
Para y=4^{x}:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=0,0625,\\\ x=-1&\Rightarrow y=0,25,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=4,\\\ x=2&\Rightarrow y=16. \end{aligned}
Para y=2^{x}:
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=0,25,\\\ x=-1&\Rightarrow y=0,5,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=2,\\\ x=2&\Rightarrow y=4. \end{aligned}
Para y=(1{,}5)^{x} (ou y=(\tfrac{3}{2})^{x}):
\begin{aligned} x=-2&\Rightarrow y=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9}\approx0,444\ldots,\\\ x=-1&\Rightarrow y=\tfrac{2}{3}\approx0,666\ldots,\\\ x=0&\Rightarrow y=1,\\\ x=1&\Rightarrow y=1{,}5,\\\ x=2&\Rightarrow y=2{,}25. \end{aligned}
Observação prática para o esboço: marque no gráfico os pontos ( -2,\,\cdot ),(-1,\,\cdot),(0,1),(1,\,\cdot),(2,\,\cdot) de cada função; ligue-os por uma curva suave crescente (se base>1) ou decrescente (se base<1), com assíntota y=0 e convexidade para cima.

Passo 4

Comparações entre as curvas (útil para posicioná-las umas em relação às outras no esboço):
  • Para x>0 (lado direito do eixo y) as funções com bases maiores crescem mais rápido. Portanto, para x>0 vale a ordem:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}<\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}<1<\,(1{,}5)^{x}<2^{x}<4^{x}<10^{x}.
  • Para x=0 todas têm valor 1.
  • Para x<0 (lado esquerdo) a ordem inverte entre as que estão abaixo e acima de 1; por exemplo, para x=-1 os valores (decrescentes) são
10^{-1}=0,1<4^{-1}=0,25<2^{-1}=0,5<(1{,}5)^{-1}\approx0,666\ldots<1<\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2<\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-1}=4.
  • Intuição rápida: bases maiores que 1 ficam acima de 1 para x>0 e crescem mais rápido quanto maior a base; bases entre 0 e 1 decrescem para x>0 e são grandes para x<0 (porque a^{x}= (1/a)^{-x}).

Passo 5

Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça à mão no seu caderno):
  1. Desenhe eixos x horizontal e y vertical. Trace a linha pontilhada y=0 como assíntota horizontal.
  2. Marque as abscissas x=-2,-1,0,1,2 e as ordenadas correspondentes (use a tabela do Passo 3).
  3. Para cada função:
    • Marque o ponto (0,1).
    • Coloque os pontos (1,y(1)) e (2,y(2)) à direita e (-1,y(-1)), (-2,y(-2)) à esquerda.
    • Ligue os pontos com uma curva suave, convexa para cima.
    • Se a base >1 (casos 1{,}5,\,2,\,4,\,10) desenhe a curva de forma crescente da esquerda para a direita (à esquerda ela se aproxima de 0, à direita sobe muito): começa próxima a y=0 quando x\to-\infty e sobe rapidamente para x\to+\infty.
    • Se a base <1 (casos \tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{4}) desenhe a curva decrescente: alta à esquerda e aproximando-se de 0 à direita.
  4. Para comparar curvas no mesmo gráfico, lembre:
    • À direita ( x>0): 10^{x} é a mais alta, depois 4^{x},2^{x},(1{,}5)^{x}. As duas decrescentes ( (\tfrac{1}{2})^{x} e (\tfrac{1}{4})^{x}) ficam bem abaixo de 1.
    • À esquerda ( x<0): (\tfrac{1}{4})^{x} e (\tfrac{1}{2})^{x} sobem muito (valores grandes), enquanto 10^{x} e 4^{x} vão para valores muito próximos de 0.
  5. Dica visual: usar cores diferentes ou traços diferentes para cada curva ajuda a distinguir; desenhe as curvas mais “rarefeitas” (grandes crescimentos) com trajetos mais íngremes.

Passo 6

Resumo didático e truques rápidos para a prova (memorização e segurança):
  • Sempre marque (0,1) primeiro: ponto obrigatório.
  • Base >1 → crescente; base <1 → decrescente.
  • Assíntota: y=0.
  • Curvas são sempre convexas para cima.
  • Para comparar duas exponenciais a^{x} e b^{x} com a>b>0:
    • Se x>0 então a^{x}>b^{x}.
    • Se x<0 então a^{x}<b^{x} (ordem invertida).
  • Use a tabela de pontos do Passo 3 para desenhar pontos precisos e depois conecte suavemente.

Resposta

Todas as curvas passam por (0,1) e têm assíntota horizontal y=0. As funções com base >1 são crescentes (1{,}5^{x},2^{x},4^{x},10^{x}) e as com base em (0,1) são decrescentes \bigl((\tfrac{1}{2})^{x},(\tfrac{1}{4})^{x}\bigr). Para x>0:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{x}<\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}<1<(1{,}5)^{x}<2^{x}<4^{x}<10^{x}.
Para x<0 a ordem entre as curvas inverte-se na parte relativa a 1 (por exemplo para x=-1: 10^{-1}<4^{-1}<2^{-1}<(1{,}5)^{-1}<1<(\tfrac{1}{2})^{-1}<(\tfrac{1}{4})^{-1}). Use a tabela de pontos do Passo 3 para marcar os pontos (-2,-1,0,1,2) e ligue-os com curvas suaves, convexas para cima, respeitando as ordens acima.

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