Faça um esboço dos gráficos das funções
Passo 1
O enunciado pede um esboço (um desenho qualitativo) dos gráficos das seis funções abaixo:
Informações dadas (cada uma é uma função exponencial com base positiva, diferente de
):
- Cada função é definida para todo
. - O pedido é um esboço dos gráficos; ou seja, mostrar forma, posição relativa e comportamento no infinito (sem desenhar com régua obrigatório).
Passo 2
Propriedades gerais das funções
que vamos usar (explicadas devagar e com calma):
- Domínio:
. Ou seja, todas as exponenciais estão definidas para qualquer . - Imagem (valor de
): . Toda exponencial é positiva, nunca cruza o eixo . - Interseção com eixo
: todas passam por , pois para qualquer base . - Assíntota horizontal:
. Quando ou dependendo da base, a curva se aproxima de sem tocá-la. - Monotonia:
- Se
, então é crescente: valores aumentam quando aumenta. - Se
, então é decrescente: valores diminuem quando aumenta.
Isso vem da derivada: o sinal de decide se cresce ( quando ) ou decresce ( quando ).
- Se
- Convexidade: a segunda derivada é
. Portanto todas as exponenciais são côncavas para cima (curvas “viradas para cima”), independentemente de (desde que ).
Passo 3
Vamos calcular pontos-chave
para cada função em
. Esses pontos permitem esboçar com segurança.
Tabela de valores (apresentada linha a linha para facilitar desenho):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
(ou
):
Observação prática para o esboço: marque no gráfico os pontos
de cada função; ligue-os por uma curva suave crescente (se base>1) ou decrescente (se base<1), com assíntota
e convexidade para cima.
Passo 4
Comparações entre as curvas (útil para posicioná-las umas em relação às outras no esboço):
- Para
(lado direito do eixo ) as funções com bases maiores crescem mais rápido. Portanto, para vale a ordem:
- Para
todas têm valor . - Para
(lado esquerdo) a ordem inverte entre as que estão abaixo e acima de ; por exemplo, para os valores (decrescentes) são
- Intuição rápida: bases maiores que
ficam acima de para e crescem mais rápido quanto maior a base; bases entre e decrescem para e são grandes para (porque ).
Passo 5
Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça à mão no seu caderno):
- Desenhe eixos
horizontal e vertical. Trace a linha pontilhada como assíntota horizontal. - Marque as abscissas
e as ordenadas correspondentes (use a tabela do Passo 3). - Para cada função:
- Marque o ponto
. - Coloque os pontos
e à direita e , à esquerda. - Ligue os pontos com uma curva suave, convexa para cima.
- Se a base
(casos ) desenhe a curva de forma crescente da esquerda para a direita (à esquerda ela se aproxima de , à direita sobe muito): começa próxima a quando e sobe rapidamente para . - Se a base
(casos ) desenhe a curva decrescente: alta à esquerda e aproximando-se de à direita.
- Marque o ponto
- Para comparar curvas no mesmo gráfico, lembre:
- À direita (
): é a mais alta, depois . As duas decrescentes ( e ) ficam bem abaixo de . - À esquerda (
): e sobem muito (valores grandes), enquanto e vão para valores muito próximos de .
- À direita (
- Dica visual: usar cores diferentes ou traços diferentes para cada curva ajuda a distinguir; desenhe as curvas mais “rarefeitas” (grandes crescimentos) com trajetos mais íngremes.
Passo 6
Resumo didático e truques rápidos para a prova (memorização e segurança):
- Sempre marque
primeiro: ponto obrigatório. - Base
→ crescente; base → decrescente. - Assíntota:
. - Curvas são sempre convexas para cima.
- Para comparar duas exponenciais
e com : - Se
então . - Se
então (ordem invertida).
- Se
- Use a tabela de pontos do Passo 3 para desenhar pontos precisos e depois conecte suavemente.
Resposta
Todas as curvas passam por
e têm assíntota horizontal
. As funções com base
são crescentes
e as com base em
são decrescentes
. Para
:
Para
a ordem entre as curvas inverte-se na parte relativa a
(por exemplo para
:
). Use a tabela de pontos do Passo 3 para marcar os pontos
e ligue-os com curvas suaves, convexas para cima, respeitando as ordens acima.