Faça um esboço das linhas de campo elétrico entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio supondo que há uma carga positiva uniforme
na casca de menor raio e uma carga negativa uniforme
na casca de maior raio. Considere os casos
e
.
Passo 1
O enunciado pede um esboço (descrição das linhas de campo elétrico) nas regiões entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio, quando há carga positiva uniforme
na casca de menor raio e carga negativa uniforme
na casca de maior raio. Devem ser considerados três casos:
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- As duas cascas são condutoras e concêntricas (mesmo centro).
- A casca interna tem carga total
colocada “uniformemente” sobre ela (como condutor, a carga fica na superfície externa da casca interna). - A casca externa tem carga total
distribuída sobre ela (sendo condutor, a distribuição final pode dividir-se entre as superfícies interna e externa da casca externa). - Queremos as linhas de campo elétrico: entre as cascas e fora da casca maior, para os três casos acima.
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (explicados com calma):
- Propriedade de um condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Isso implica que, se há carga num condutor, ela se posiciona exclusivamente nas superfícies do condutor.
- Como as cascas são esféricas concêntricas, o problema tem simetria esférica: o campo em qualquer superfície esférica centrada coincide com o comportamento de uma carga pontual no centro (função de
apenas), por causa da simetria. - Lei de Gauss (versão integral), que relaciona campo e carga encerrada:
Aqui
é o campo elétrico sobre a superfície gaussiana,
é o elemento de área (vetor),
é a carga total interna à superfície e
é a permissividade do vácuo.
Breve explicação de como usar a Lei de Gauss em simetria esférica:
- Escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada nas cascas. Por simetria, é radial e tem módulo constante sobre a esfera, então
- Assim,
com a direção radial (para fora se
, para dentro se
).
Passo 3
Determinação de como as cargas se distribuem nas superfícies da casca externa (argumento físico passo a passo):
- A casca interna tem carga total
localizada na sua superfície externa (por ser condutor). - Colocando uma casca condutora externa concêntrica com carga total
, a presença de dentro dela induz uma carga na superfície interna da casca externa de modo que o campo dentro do material da casca externa seja zero. - Para que o campo elétrico no material da casca externa seja zero, a carga na superfície interna da casca externa tem de ser exatamente
. Raciocínio: se numa superfície esférica dentro do condutor existisse campo não nulo, isso contradiz o fato de o campo dentro do condutor ser zero; a única maneira é que a carga encerrada pela superfície logo dentro do material do condutor seja nula. Como a casca interna fornece , a superfície interna da casca externa deve fornecer para que o total dentro do condutor (até essa camada) seja zero. - Como a casca externa tem carga líquida total
, e já colocamos na sua face interna, a carga restante que fica na face externa da casca externa é
Portanto:
- carga na superfície interna da casca externa:
, - carga na superfície externa da casca externa:
.
Observação intuitiva: se
então
(nenhuma carga na face externa).
Passo 4
Campo elétrico nas diferentes regiões (uso direto da Lei de Gauss e interpretação física). Denotemos o raio da casca interna por
e o raio exterior da casca externa por
. Considere raios
medidos a partir do centro.
- Região interna ao material da casca interna (ou seja,
, interior oco):
- Não há carga no interior do metal e, para uma casca condutora o campo dentro do metálico é zero. Logo
- Região entre as cascas (entre a superfície externa da casca interna e a superfície interna da casca externa; ou seja,
):
- Uma superfície gaussiana nessa região encerra apenas a carga
da casca interna. Portanto
- A direção do campo é radial para fora (pois
); isto significa que as linhas de campo são radiais e apontam da casca interna em direção à casca externa.
- Dentro do material condutor da casca externa (entre a superfície interna e externa efetivas do metal):
- Por ser condutor em equilíbrio,
aí. Isso já foi usado para deduzir a carga na superfície interna.
- Região fora da casca externa (
):
- A carga total do sistema, vista por um observador externo, é simplesmente
. Assim, para ,
- A direção do campo é radial para fora se
(i.e. ), nula se , e radial para dentro (apontando para o centro) se (i.e. ).
Passo 5
Interpretação em termos de linhas de campo (regras de linhas de campo elétrico rápidas):
- Linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou vão para o infinito se houver carga líquida positiva, ou vêm do infinito se houver carga líquida negativa).
- O número de linhas que emanam de uma carga é proporcional à magnitude da carga (na figura imaginária: mais carga = mais linhas).
- As linhas nunca atravessam o material condutor: elas penetram até a superfície e terminam/saem aí (pois dentro do condutor
).
Agora aplicamos isso aos três casos concretos:
Caso A:
(carga líquida do sistema positiva:
).
- Entre as cascas (
): haverão linhas radiais saindo da casca interna (origem nas cargas positivas ) e terminando na superfície interna da casca externa, onde existe carga . Essas linhas preenchem a região entre as cascas, todas apontando radialmente para fora (da casca interna em direção à casca externa). - Na superfície externa da casca externa existe carga positiva residual
. Dessa superfície partem linhas que vão para o infinito (linhas radiais para fora). Assim, no exterior o campo é como de uma carga pontual positiva no centro; as linhas saem radialmente para fora. - Resumo visual: um “anel” de linhas indo da casca interna para a face interna da externa; além disso, linhas saindo da face externa da casca externa para o infinito.
Caso B:
(carga líquida do sistema zero).
- Entre as cascas (
): de novo as linhas partem da casca interna e terminam na superfície interna da casca externa . Portanto há campo nessa região e linhas radiais ligando as duas superfícies. - Na superfície externa da casca externa
, ou seja, não há carga na face externa. Logo, para o campo é nulo; não existem linhas no exterior. Todas as linhas que saem da casca interna terminam na superfície interna da casca externa. - Resumo visual: linhas confinadas entre as cascas; fora da casca maior nenhum campo, nenhuma linha.
Caso C:
(carga líquida do sistema negativa:
).
- Entre as cascas (
): como antes, as linhas saem da casca interna positiva e terminam na superfície interna da casca externa . Logo existe campo entre as cascas com linhas radiais dirigidas para fora (da interna) que terminam na face interna da externa. - Na superfície externa da casca externa existe carga negativa residual de magnitude
(isto é, ). Essa carga atrai linhas que vêm do infinito: portanto no exterior as linhas são radiais apontando para dentro, terminando na superfície externa da casca externa. O campo externo é igual ao de uma carga pontual negativa no centro (ou seja, direção para o centro). - Resumo visual: linhas entre as cascas ligando casca interna a face interna da externa; no exterior há linhas vindo do infinito e terminando na face externa da casca externa (direção para o centro).
Passo 6
Observações finais úteis para a prova (como desenhar rápido e o que olhar):
- Ao desenhar, faça radiais igualmente espaçados (por simetria esférica). Entre as cascas desenhe linhas saindo da casca interna e atingindo a face interna da casca externa; não continue linhas através do metal (dentro do metal não há linhas).
- Para o exterior, olhe o sinal de
: - se positivo: desenhe linhas saindo da casca externa para o infinito;
- se zero: não desenhe linhas fora;
- se negativo: desenhe linhas vindo do infinito e terminando na casca externa.
- Se precisar indicar quantidades relativas, lembre-se: número de linhas proporcionais às magnitudes
, (por exemplo, se é bem maior que pode-se desenhar muitas linhas entre as cascas e algumas linhas saindo da face externa, correspondendo a ).
Resposta
Para
: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna
e terminando na superfície interna da casca externa
; na face externa da casca externa há carga positiva
e linhas saem radialmente para o infinito.
Para
: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna e terminando na superfície interna da casca externa; fora da casca maior o campo é nulo (nenhuma linha).
Para
: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna e terminando na superfície interna da casca externa; na face externa da casca externa há carga negativa
e linhas vêm do infinito terminando radialmente nessa face externa (campo externo dirigido para o centro).