Faça um esboço das linhas de campo elétrico entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio supondo que há uma carga positiva uniforme q_{1} na casca de menor raio e uma carga negativa uniforme -q_{2} na casca de maior raio. Considere os casos q_{1}>q_{2}, q_{1}=q_{2} e q_{1}< q_{2}.

Passo 1

O enunciado pede um esboço (descrição das linhas de campo elétrico) nas regiões entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio, quando há carga positiva uniforme \,q_{1}\, na casca de menor raio e carga negativa uniforme -q_{2}\, na casca de maior raio. Devem ser considerados três casos: \,q_{1}>q_{2}\,, \,q_{1}=q_{2}\, e \,q_{1}<q_{2}\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas cascas são condutoras e concêntricas (mesmo centro).
  • A casca interna tem carga total q_{1}>0 colocada “uniformemente” sobre ela (como condutor, a carga fica na superfície externa da casca interna).
  • A casca externa tem carga total -q_{2}<0 distribuída sobre ela (sendo condutor, a distribuição final pode dividir-se entre as superfícies interna e externa da casca externa).
  • Queremos as linhas de campo elétrico: entre as cascas e fora da casca maior, para os três casos acima.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (explicados com calma):
  • Propriedade de um condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Isso implica que, se há carga num condutor, ela se posiciona exclusivamente nas superfícies do condutor.
  • Como as cascas são esféricas concêntricas, o problema tem simetria esférica: o campo em qualquer superfície esférica centrada coincide com o comportamento de uma carga pontual no centro (função de r apenas), por causa da simetria.
  • Lei de Gauss (versão integral), que relaciona campo e carga encerrada:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico sobre a superfície gaussiana, d\mathbf{A} é o elemento de área (vetor), Q_{\text{enc}} é a carga total interna à superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Breve explicação de como usar a Lei de Gauss em simetria esférica:
  • Escolhe-se uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada nas cascas. Por simetria, \mathbf{E} é radial e tem módulo E(r) constante sobre a esfera, então
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}.
  • Assim,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{Q_{\text{enc}}}{r^{2}},
com a direção radial (para fora se Q_{\text{enc}}>0, para dentro se Q_{\text{enc}}<0).

Passo 3

Determinação de como as cargas se distribuem nas superfícies da casca externa (argumento físico passo a passo):
  • A casca interna tem carga total \,q_{1}\, localizada na sua superfície externa (por ser condutor).
  • Colocando uma casca condutora externa concêntrica com carga total -q_{2}, a presença de q_{1} dentro dela induz uma carga na superfície interna da casca externa de modo que o campo dentro do material da casca externa seja zero.
  • Para que o campo elétrico no material da casca externa seja zero, a carga na superfície interna da casca externa tem de ser exatamente -q_{1}. Raciocínio: se numa superfície esférica dentro do condutor existisse campo não nulo, isso contradiz o fato de o campo dentro do condutor ser zero; a única maneira é que a carga encerrada pela superfície logo dentro do material do condutor seja nula. Como a casca interna fornece q_{1}, a superfície interna da casca externa deve fornecer -q_{1} para que o total dentro do condutor (até essa camada) seja zero.
  • Como a casca externa tem carga líquida total -q_{2}, e já colocamos -q_{1} na sua face interna, a carga restante que fica na face externa da casca externa é
q_{\text{externa}} = -q_{2} -(-q_{1}) = q_{1}-q_{2}.
Portanto:
  • carga na superfície interna da casca externa: -q_{1},
  • carga na superfície externa da casca externa: q_{1}-q_{2}.
Observação intuitiva: se q_{1}=q_{2} então q_{\text{externa}}=0 (nenhuma carga na face externa).

Passo 4

Campo elétrico nas diferentes regiões (uso direto da Lei de Gauss e interpretação física). Denotemos o raio da casca interna por a e o raio exterior da casca externa por b. Considere raios r medidos a partir do centro.
  1. Região interna ao material da casca interna (ou seja, r<a, interior oco):
  • Não há carga no interior do metal e, para uma casca condutora o campo dentro do metálico é zero. Logo
E(r)=0\quad\text{para }r<a.
  1. Região entre as cascas (entre a superfície externa da casca interna e a superfície interna da casca externa; ou seja, a<r<b):
  • Uma superfície gaussiana nessa região encerra apenas a carga q_{1} da casca interna. Portanto
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}}{r^{2}}\quad\text{para }a<r<b.
  • A direção do campo é radial para fora (pois q_{1}>0); isto significa que as linhas de campo são radiais e apontam da casca interna em direção à casca externa.
  1. Dentro do material condutor da casca externa (entre a superfície interna e externa efetivas do metal):
  • Por ser condutor em equilíbrio, E=0 aí. Isso já foi usado para deduzir a carga -q_{1} na superfície interna.
  1. Região fora da casca externa ( r>b):
  • A carga total do sistema, vista por um observador externo, é simplesmente q_{1}+(-q_{2})=q_{1}-q_{2}. Assim, para r>b,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}-q_{2}}{r^{2}}.
  • A direção do campo é radial para fora se q_{1}-q_{2}>0 (i.e. q_{1}>q_{2}), nula se q_{1}-q_{2}=0, e radial para dentro (apontando para o centro) se q_{1}-q_{2}<0 (i.e. q_{1}<q_{2}).

Passo 5

Interpretação em termos de linhas de campo (regras de linhas de campo elétrico rápidas):
  • Linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas (ou vão para o infinito se houver carga líquida positiva, ou vêm do infinito se houver carga líquida negativa).
  • O número de linhas que emanam de uma carga é proporcional à magnitude da carga (na figura imaginária: mais carga = mais linhas).
  • As linhas nunca atravessam o material condutor: elas penetram até a superfície e terminam/saem aí (pois dentro do condutor E=0).
Agora aplicamos isso aos três casos concretos:
Caso A: \,q_{1}>q_{2}\, (carga líquida do sistema positiva: q_{1}-q_{2}>0).
  • Entre as cascas ( a<r<b): haverão linhas radiais saindo da casca interna (origem nas cargas positivas q_{1}) e terminando na superfície interna da casca externa, onde existe carga -q_{1}. Essas linhas preenchem a região entre as cascas, todas apontando radialmente para fora (da casca interna em direção à casca externa).
  • Na superfície externa da casca externa existe carga positiva residual q_{1}-q_{2}>0. Dessa superfície partem linhas que vão para o infinito (linhas radiais para fora). Assim, no exterior r>b o campo é como de uma carga pontual positiva q_{1}-q_{2} no centro; as linhas saem radialmente para fora.
  • Resumo visual: um “anel” de linhas indo da casca interna para a face interna da externa; além disso, linhas saindo da face externa da casca externa para o infinito.
Caso B: \,q_{1}=q_{2}\, (carga líquida do sistema zero).
  • Entre as cascas ( a<r<b): de novo as linhas partem da casca interna q_{1} e terminam na superfície interna da casca externa -q_{1}. Portanto há campo nessa região e linhas radiais ligando as duas superfícies.
  • Na superfície externa da casca externa q_{\text{externa}}=q_{1}-q_{2}=0, ou seja, não há carga na face externa. Logo, para r>b o campo é nulo; não existem linhas no exterior. Todas as linhas que saem da casca interna terminam na superfície interna da casca externa.
  • Resumo visual: linhas confinadas entre as cascas; fora da casca maior nenhum campo, nenhuma linha.
Caso C: \,q_{1}<q_{2}\, (carga líquida do sistema negativa: q_{1}-q_{2}<0).
  • Entre as cascas ( a<r<b): como antes, as linhas saem da casca interna positiva q_{1} e terminam na superfície interna da casca externa -q_{1}. Logo existe campo entre as cascas com linhas radiais dirigidas para fora (da interna) que terminam na face interna da externa.
  • Na superfície externa da casca externa existe carga negativa residual de magnitude q_{2}-q_{1} (isto é, q_{\text{externa}}=q_{1}-q_{2}<0). Essa carga atrai linhas que vêm do infinito: portanto no exterior r>b as linhas são radiais apontando para dentro, terminando na superfície externa da casca externa. O campo externo é igual ao de uma carga pontual negativa q_{1}-q_{2} no centro (ou seja, direção para o centro).
  • Resumo visual: linhas entre as cascas ligando casca interna a face interna da externa; no exterior há linhas vindo do infinito e terminando na face externa da casca externa (direção para o centro).

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (como desenhar rápido e o que olhar):
  • Ao desenhar, faça radiais igualmente espaçados (por simetria esférica). Entre as cascas desenhe linhas saindo da casca interna e atingindo a face interna da casca externa; não continue linhas através do metal (dentro do metal não há linhas).
  • Para o exterior, olhe o sinal de \,q_{1}-q_{2}\,:
    • se positivo: desenhe linhas saindo da casca externa para o infinito;
    • se zero: não desenhe linhas fora;
    • se negativo: desenhe linhas vindo do infinito e terminando na casca externa.
  • Se precisar indicar quantidades relativas, lembre-se: número de linhas proporcionais às magnitudes q_{1}, q_{2} (por exemplo, se q_{1} é bem maior que q_{2} pode-se desenhar muitas linhas entre as cascas e algumas linhas saindo da face externa, correspondendo a q_{1}-q_{2}).

Resposta

Para \,q_{1}>q_{2}\,: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna q_{1} e terminando na superfície interna da casca externa -q_{1}; na face externa da casca externa há carga positiva q_{1}-q_{2} e linhas saem radialmente para o infinito.
Para \,q_{1}=q_{2}\,: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna e terminando na superfície interna da casca externa; fora da casca maior o campo é nulo (nenhuma linha).
Para \,q_{1}<q_{2}\,: entre as cascas há linhas radiais saindo da casca interna e terminando na superfície interna da casca externa; na face externa da casca externa há carga negativa q_{1}-q_{2}(<0) e linhas vêm do infinito terminando radialmente nessa face externa (campo externo dirigido para o centro).

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