(a) Faça um esboço da região delimitada pelas curvas y=raiz25-x^2, y=0, x=2 e x=4, e calcule a sua área;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que está entre as curvas y = raiz25 - x^2 , y = 0 (que é o eixo x), x = 2 e x = 4 . Depois, a gente precisa calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, especificamente integrais para encontrar a área limitada por essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. y = raiz25 - x^2 : Essa é a equação da metade superior de um círculo com raio 5 e centro na origem (0,0).
  2. y = 0 : É o eixo x.
  3. x = 2 e x = 4 : São linhas verticais que interceptam o eixo x nos pontos 2 e 4, respectivamente.
Então, a região que queremos é a parte do círculo entre x = 2 e x = 4 , abaixo da curva y = raiz25 - x^2 e acima do eixo x.

Passo 3

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integração definida. A ideia é integrar a função que define o limite superior da região ( y = raiz25 - x^2 ) entre os valores de x = 2 e x = 4 . A integral vai nos dar a área sob a curva entre esses pontos.
A fórmula para a área A é:
A = integral2^4 raiz25 - x^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar raiz25 - x^2 , usamos uma substituição trigonométrica. Mas vou simplificar aqui:
Sabemos que:
integral raiza^2 - x^2 , dx = x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin(xa) + C
No nosso caso, a = 5 . Aplicando os limites de integração:
A = [ x2 raiz25 - x^2 + 252 arcsin(x5) ]2^4
Calculando para x = 4 :
42 raiz25 - 16 + 252 arcsin(45) = 2 times 3 + 252 times 0,9273 approx 6 + 11,591 = 17,591
Calculando para x = 2 :
22 raiz25 - 4 + 252 arcsin(25) = 1 times raiz21 + 252 times 0,4115 approx 4,583 + 5,144 = 9,727
Subtraindo:
A = 17,591 - 9,727 = 7,864

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 7,864 unidades de área.

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