(a) Faça um esboço da região delimitada pelas curvas
e
, e calcule a sua área;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região que está entre as curvas
,
(que é o eixo x),
e
. Depois, a gente precisa calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, especificamente integrais para encontrar a área limitada por essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
: Essa é a equação da metade superior de um círculo com raio 5 e centro na origem (0,0). -
: É o eixo x. -
e : São linhas verticais que interceptam o eixo x nos pontos 2 e 4, respectivamente.
Então, a região que queremos é a parte do círculo entre
e
, abaixo da curva
e acima do eixo x.
Passo 3
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integração definida. A ideia é integrar a função que define o limite superior da região (
) entre os valores de
e
. A integral vai nos dar a área sob a curva entre esses pontos.
A fórmula para a área
é:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar
, usamos uma substituição trigonométrica. Mas vou simplificar aqui:
Sabemos que:
No nosso caso,
. Aplicando os limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 7,864 unidades de área.