Faça um esboço dos seguintes conjuntos:
|z-2|=2|z+2 i|

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo que satisfazem
|z-2| = 2\,|z+2\,i|.
O conteúdo aqui é encontrar, em coordenadas reais, a equação desse lugar e reconhecer que ele é um círculo (caso seja). Para isso, vamos escrever z=x+iy e transformar a condição em algo do tipo “equação de uma circunferência”.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
z-2 = (x-2)+iy,\quad z+2\,i = x + i(y+2).
Portanto a condição vira
\sqrt{(x-2)^2 + y^2} \;=\; 2\,\sqrt{x^2 + (y+2)^2}.

Passo 3

Para eliminar as raízes, elevamos ao quadrado:
(x-2)^2 + y^2 \;=\; 4\bigl(x^2 + (y+2)^2\bigr).
Expandindo ambos os lados:
x^2 -4x +4 + y^2 \;=\; 4x^2 +4(y^2 +4y +4) \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 -4x +4 + y^2 = 4x^2 +4y^2 +16y +16.
Passamos tudo para um lado:
0 = 4x^2 +4y^2 +16y +16 -x^2 +4x -4 -y^2 = 3x^2 +3y^2 +4x +16y +12.

Passo 4

Dividindo por 3 e completando quadrados em x e em y:
x^2 + y^2 + \tfrac{4}{3}x + \tfrac{16}{3}y +4 = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(x + \tfrac{2}{3}\bigr)^2 - \tfrac{4}{9} + \bigl(y + \tfrac{8}{3}\bigr)^2 - \tfrac{64}{9} +4 = 0.
Somando as constantes:
-\,\tfrac{4}{9} - \tfrac{64}{9} + 4 = -\tfrac{68}{9} + \tfrac{36}{9} = -\tfrac{32}{9},
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\bigl(x + \tfrac{2}{3}\bigr)^2 + \bigl(y + \tfrac{8}{3}\bigr)^2 = \tfrac{32}{9}.

Passo 5

Reconhecemos uma circunferência de centro
\Bigl(-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{8}{3}\Bigr)
e raio
\sqrt{\tfrac{32}{9}} = \tfrac{4\sqrt{2}}{3}.
Isso é exatamente o círculo de Apollonius associado à razão 2.

Resposta

O lugar geométrico é a circunferência de centro \bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{8}{3}\bigr) e raio \tfrac{4\sqrt2}{3}.
Esboço: um círculo centrado no ponto \bigl(-\tfrac23,-\tfrac83\bigr) com raio \tfrac{4\sqrt2}{3}.

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