Questão Extra - Seja f uma função contínua em p \in \mathbb{R} e tal que f(p)>0. Prove que a Lei de conservação do sinal, ou seja: existe \delta>0 tal que
\forall x \in D_{f}, \operatorname{com} p-\delta<x<p+\delta \Rightarrow f(x)>0

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em p\in\mathbb{R} e que f(p)>0. Queremos mostrar que existe um \delta>0 tal que
\forall x\in D_f,\quad p-\delta<x<p+\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>0.
O conteúdo usado será a definição de continuidade de f em p.

Passo 2

Pela definição de continuidade de f em p, sabemos que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
|x-p|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(p)|<\varepsilon.
Como f(p)>0, escolha \varepsilon = f(p). Então existe \delta>0 tal que, sempre que |x-p|<\delta, vale
|f(x)-f(p)|<f(p).
Isso implica, em particular,
f(x)>f(p)-|f(x)-f(p)|>f(p)-f(p)=0.

Resposta

Basta tomar \varepsilon = f(p) e escolher o \delta>0 fornecido pela continuidade de f em p. Assim, todo x com p-\delta<x<p+\delta satisfaz f(x)>0, como queríamos demonstrar.

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