Questão Extra - Seja
uma função contínua em
e tal que
. Prove que a Lei de conservação do sinal, ou seja: existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e que
. Queremos mostrar que existe um
tal que
O conteúdo usado será a definição de continuidade de
em
.
Passo 2
Pela definição de continuidade de
em
, sabemos que para todo
existe
tal que
Como
, escolha
. Então existe
tal que, sempre que
, vale
Isso implica, em particular,
Resposta
Basta tomar
e escolher o
fornecido pela continuidade de
em
. Assim, todo
com
satisfaz
, como queríamos demonstrar.