Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
integral-2^2 integral0^4-y^2 integral0^2 d x d z d y

Passo 1

O enunciado nos dá o volume
integraly=-2^2integralz=0^4-y^2integralx=0^2dx,dz,dy
e pede o esboço do sólido. O que vamos precisar fazer é identificar as superfícies que delimitam o sólido em cada direção e depois combinar isso num desenho só.

Passo 2

Projete o sólido no plano yz. A projeção é
(y,z)mid -2<= y<= 2,;0<= z<= 4-y^2,
ou seja, a região sob a curva parabólica z=4-y^2 e acima de z=0. No plano yz, essa é uma “parábola deitada” com vértice em (y,z)=(0,4) e interceptações em (pm2,0).

Passo 3

Agora olhe para a integral em x. Temos 0<= x<= 2. Isso significa que a região do passo anterior é simplesmente estendida (extrudada) de x=0 até x=2. Em outras palavras, cada ponto (y,z) na base descrita no passo 2 gera uma aresta paralela ao eixo x de comprimento 2.

Passo 4

Combine tudo num esboço 3D:
  • Desenhe os três eixos: x (saindo da página/para dentro), y (horizontal) e z (vertical).
  • No plano y!z, trace a curva z=4-y^2.
  • Preencha a região entre essa curva e o eixo z=0.
  • Depois, “puxe” essa forma no sentido perpendicular ao plano y!z, desde x=0 até x=2. Você terá um sólido com faces planas em x=0 e x=2, uma base plana em z=0 e uma superfície superior dada pelo “paraboloide cilíndrico” z=4-y^2.

Resposta

O esboço deve mostrar:
– Eixo z vertical, eixo y horizontal no papel e eixo x perpendicular (para dentro ou fora da página).
– A curva z=4-y^2 no plano y!z com vértice em (0,4) e raízes em (pm2,0).
– A região abaixo dessa curva até z=0.
– A extrusão dessa região ao longo de x de 0 a 2, formando um sólido com faces planas em x=0, x=2, em z=0 e superfície lateral parabólica.

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