Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral.
Passo 1
O enunciado nos dá o volume
e pede o esboço do sólido. O que vamos precisar fazer é identificar as superfícies que delimitam o sólido em cada direção e depois combinar isso num desenho só.
Passo 2
Projete o sólido no plano
. A projeção é
ou seja, a região sob a curva parabólica
e acima de
. No plano
, essa é uma “parábola deitada” com vértice em
e interceptações em
.
Passo 3
Agora olhe para a integral em
. Temos
. Isso significa que a região do passo anterior é simplesmente estendida (extrudada) de
até
. Em outras palavras, cada ponto
na base descrita no passo 2 gera uma aresta paralela ao eixo
de comprimento
.
Passo 4
Combine tudo num esboço 3D:
- Desenhe os três eixos:
(saindo da página/para dentro), (horizontal) e (vertical). - No plano
, trace a curva . - Preencha a região entre essa curva e o eixo
. - Depois, “puxe” essa forma no sentido perpendicular ao plano
, desde até . Você terá um sólido com faces planas em e , uma base plana em e uma superfície superior dada pelo “paraboloide cilíndrico” .
Resposta
O esboço deve mostrar:
– Eixo vertical, eixo
horizontal no papel e eixo
perpendicular (para dentro ou fora da página).
– A curva no plano
com vértice em
e raízes em
.
– A região abaixo dessa curva até .
– A extrusão dessa região ao longo de de
a
, formando um sólido com faces planas em
,
, em
e superfície lateral parabólica.
– Eixo
– A curva
– A região abaixo dessa curva até
– A extrusão dessa região ao longo de