Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente “fazer o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral”
Isso é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender coordenadas cilíndricas (x=r cosθ, y=r sinθ e dV = r dz dr dθ).
- Esboçar a região definida por 0≤θ≤π/2, 0≤r≤2 e 0≤z≤θ−r².
- Aplicar Fubini e integrar passo a passo.
Passo 2
Esboço do sólido:
- No plano xy a projeção é um quarto de disco de raio 2 (θ de 0 a π/2, r de 0 a 2).
- Para cada (r,θ) a altura z vai de 0 até a superfície
que é uma “parábola inclinada” em função de r e θ.
3) Onde θ−r² muda de sinal (ou seja, r=√θ) o sólido encontra o plano z=0.
Logo o volume é a região acima de z=0 e abaixo de z=θ−r², restrita ao quarto de disco.
3) Onde θ−r² muda de sinal (ou seja, r=√θ) o sólido encontra o plano z=0.
Logo o volume é a região acima de z=0 e abaixo de z=θ−r², restrita ao quarto de disco.
Passo 3
Agora calcula a integral:
- Integração em z:
- Integração em r:
- Integração em θ:
Resposta
O volume do sólido vale