Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral.
integral0^pi / 2 integral0^2 integral0^theta-n^2 r d z d r d theta

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente “fazer o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral”
integral0^pi/2integral0^2integral0^theta - r^2 r ,dz,dr,dtheta
Isso é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar:
  • Entender coordenadas cilíndricas (x=r cosθ, y=r sinθ e dV = r dz dr dθ).
  • Esboçar a região definida por 0≤θ≤π/2, 0≤r≤2 e 0≤z≤θ−r².
  • Aplicar Fubini e integrar passo a passo.

Passo 2

Esboço do sólido:
  1. No plano xy a projeção é um quarto de disco de raio 2 (θ de 0 a π/2, r de 0 a 2).
  2. Para cada (r,θ) a altura z vai de 0 até a superfície
z = theta - r^2,
que é uma “parábola inclinada” em função de r e θ.
3) Onde θ−r² muda de sinal (ou seja, r=√θ) o sólido encontra o plano z=0.
Logo o volume é a região acima de z=0 e abaixo de z=θ−r², restrita ao quarto de disco.

Passo 3

Agora calcula a integral:
  1. Integração em z:
integral0^theta - r^2 r,dz ;=; rl(theta - r^2r)
  1. Integração em r:
integral0^2l[r(theta - r^2)r]dr =integral0^2(rtheta - r^3),dr =l[tfractheta,r^22-tfracr^44r]0^2 =2theta - 4
  1. Integração em θ:
integral0^pi/2(2theta - 4),dtheta =l[theta^2 - 4thetar]0^pi/2 =pi^24-2pi

Resposta

O volume do sólido vale
V ;=;pi^24;-;2pi

Exercícios relacionados