Obtenha a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da catenária y=cosh x, x in[-1,1].
(11) O comprimento L do gráfico de y=f(x), a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+f^prime(x)^2 d x
Calcule o comprimento do gráfico da função
f(x)=integral1^x raize^3 t-1 d t
para 1 <= x <= 3

Passo 1

Resumindo, temos duas tarefas:
  1. Calcular a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x da curva
y=cosh x, xin[-1,1],
usando a fórmula de área de revolução
A = 2pi integrala^b y,raiz1 + (y')^2,dx
  1. Calcular o comprimento do gráfico da função
f(x)=integral1^xraize^3t-1,dt, xin[1,3],
usando a fórmula de comprimento de arco
L = integrala^b raiz1 + (f')^2,dx

Passo 2

Para a superfície de revolução, temos
y=cosh x Longrightarrow y'=sinh x
Então
raiz1+(y')^2 =raiz1+sinh^2 x =cosh x,
pois cosh^2 x-sinh^2 x=1.

Passo 3

A área fica
A = 2pi integral-1^1 cosh x;cosh x,dx =2pi integral-1^1cosh^2 x,dx
Usamos a identidade
cosh^2 x = 1+cosh2x2

Passo 4

Substituindo e integrando:
A =2pi integral-1^11+cosh2x2,dx =piintegral-1^1(1+cosh2x),dx
Calculamos separadamente:
integral-1^11,dx=2, integral-1^1cosh2x,dx =sinh2x2|-1^1 =sinh2
Logo
A=pil(2+sinh2r)

Passo 5

Para o comprimento de arco, pela definição
f'(x)=raize^3x-1,
logo
raiz1+(f')^2 =raiz1+(e^3x-1) =raize^3x =e^tfrac3x2
Assim
L =integral1^3e^tfrac3x2,dx

Passo 6

Integramos
integral e^tfrac3x2,dx =23e^tfrac3x2,
portanto
L =23e^tfrac3x2|1^3 =23l(e^tfrac92-e^tfrac32r)

Resposta

Área da superfície: A = pil(2 + sinh2r) Áí
Comprimento do gráfico: L = 23l(e^tfrac92 - e^tfrac32r) á

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