Em um processo de endurecimento brusco, barras de aço ( p=7.832 kg / m^3, Cp=434 J / kg K, e k=63,9 W/m.K) são aquecidas em um forno a 850^circ C e depois resfriadas em banho de água a uma temperatura média de 95^circ C O banho de água tem temperatura uniforme de 40^circ C, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 450 W / m^2 K. Considerando que as barras de aço tem diâmetro de 50 mm e comprimento de 2 m , determine o tempo necessário para arrefecer a barra de aço de 850^circ C a 95^circ C no banho de agua,

Passo 1

A questão fala de uma barra de aço (densidade 7832 kg/m³, Cp = 434 J/kg·K, k = 63,9 W/m·K) aquecida a 850 °C e mergulhada num banho de água a 40 °C, precisando resfriar até 95 °C. O conteúdo é condução transiente e vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance), validando antes com o número de Biot.

Passo 2

Para aplicar o método, precisamos calcular o comprimento característico Lc e depois o número de Biot. O comprimento característico Lc é definido por:

Passo 3

Lc = VA
onde V é o volume e A a área de troca. Para uma barra longa (desprezando as extremidades),

Passo 4

V = pi r^2 L,
A = 2pi r L
logo

Passo 5

Lc = pi r^2 L2pi r L = r2 = 0,0252 = 0,0125 m

Passo 6

O número de Biot é dado por:

Passo 7

Bi = h,Lck = 450times0,012563,9 approx 0,088
Como Bi < 0,1, o método lumped é válido.

Passo 8

No método de capacitância concentrada, a equação transiente é

Passo 9

T(t)-TinftyTi - Tinfty = expgl(-h Arho V Cp,tgr)
Podemos definir a constante de tempo τ como:

Passo 10

tau = rho Cp Vh A = rho Cp Lch = 7832times434times0,0125450 approx 94,4 s

Passo 11

Agora, para T(t)=95 °C, Ti=850 °C e T∞=40 °C:

Passo 12

95 - 40850 - 40 = expgl(-ttaugr) implies expl(-tfract94,4r) = 0,0679

Passo 13

Logo:

Passo 14

t = -tauln(0,0679) = 94,4 times 2,691 approx 254 s

Resposta

254 segundos (aproximadamente 4,23 minutos).

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