Faça um esboço das superfícies.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar duas superfícies em
e $,y = 0$. O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D, em particular o reconhecimento de um cilindro elíptico e de um plano. Vamos precisar identificar cada superfície e ver como elas se cruzam.
Passo 2
A equação $x^2 + 4z^2 = 16$ não envolve $y$, o que significa que, para qualquer valor de $y$, as coordenadas $x,z$ satisfazem
$$
x^2 + 4z^2 = 16
$$
x^2 + 4z^2 = 16
$$
Isso é a equação de uma elipse no plano $xz$ com semi-eixos 4 (eixo $x$) e 2 (eixo $z$). Como não há dependência de $y$, essa elipse se “repete” ao longo de toda a direção do eixo $y$, formando um cilindro elíptico.
Passo 3
A equação $y = 0$ define o plano $\text{plano }xz$. Geometricamente, é o “chão” (ou parede, dependendo do sistema de projeção) onde a coordenada $y$ é sempre zero.
Passo 4
Para encontrar a interseção do cilindro com o plano, basta impor $y = 0$ na equação do cilindro e perceber que a elipse permanece:
$$
x^2 + 4z^2 = 16,
$$
x^2 + 4z^2 = 16,
$$
que, em forma padrão, dá
$$
\frac{x^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1.
$$
\frac{x^2}{16} + \frac{z^2}{4} = 1.
$$
Ou seja, a curva de interseção é exatamente essa elipse no plano $y=0$.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe os eixos: $x$ horizontal, $y$ saindo/perto do plano do papel, e $z$ vertical.
- No plano $y=0$ (o plano do papel), marque a elipse de semi-eixos 4 (direção $x$) e 2 (direção $z$).
- A cada ponto dessa elipse desenhe uma linha paralela ao eixo $y$, formando assim o cilindro elíptico.
- Finalmente, enfatize o próprio plano $y=0$ como o plano que contém essa elipse.
Passo 6
Com isso, temos o esboço completo: um cilindro elíptico de eixo paralelo a $y$ intersectado pelo plano $y=0$, cuja curva de interseção é a elipse $x^2/16 + z^2/4 = 1$.
Resposta
O esboço mostra um cilindro elíptico de equação
com eixo paralelo ao eixo $y$, intersectado pelo plano
. A interseção é a elipse no plano $xz$ dada por
.