Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
incluindo domínio, paridade, raízes, intercepto em
, assíntotas, monotonicidade (sinal de
), concavidade (sinal de
), pontos críticos e de inflexão, além do esboço do gráfico. Vamos usar técnicas de análise de funções racionais e derivação.
Passo 2
Domínio, paridade, raízes e intercepto em
:
– O denominador implica
.
Logo o domínio é
– O denominador
Logo o domínio é
– Paridade:
ou seja,
é par.
– Raízes: não tem solução real, logo não há interceptos em
.
– Intercepto em :
– Raízes:
– Intercepto em
Passo 3
Assíntotas:
– Verticais onde , isto é,
– Verticais onde
– Horizontal em
: como grau do numerador e do denominador são iguais,
logo assíntota
.
Passo 4
Derivada primeira e monotonicidade:
Calculemos
Calculemos
O denominador é sempre positivo em
, logo o sinal de
vem de
:
– Para ,
.
– Para ,
.
Assim
– cresce em
.
– decresce em
.
O único ponto crítico em é
, onde
muda de positivo para negativo, caracterizando um máximo local em
– Para
– Para
Assim
–
–
O único ponto crítico em
Passo 5
Derivada segunda e concavidade:
O numerador
para todo
. O denominador tem sinal:
– Se , então
e
(côncavo para cima).
– Se , então
e
(côncavo para baixo).
Não há pontos de inflexão em , pois
não se anula em nenhum ponto do domínio.
– Se
– Se
Não há pontos de inflexão em
Passo 6
Tabela de variação e concavidade e esboço do gráfico:
– Em : cresce e é côncavo para cima; aproxima-se de
com assíntota horizontal.
– Em : cresce e é côncavo para baixo; vai de
(próximo a
) até
.
– Em : decresce e é côncavo para baixo; vai de
até
em
.
– Em : decresce e é côncavo para cima; vai de
em
até aproximar-se de
.
O gráfico é simétrico em relação ao eixo , tem assíntotas verticais
e horizontal
, e único máximo local em
. Não há mínimos nem pontos de inflexão.
– Em
– Em
– Em
– Em
O gráfico é simétrico em relação ao eixo
Resposta
Domínio:
Paridade: par.
Raízes: nenhuma.
Intercepto em :
.
Assíntotas verticais: e
.
Assíntota horizontal: .
Monotonicidade:
– Cresce em .
– Decresce em .
Extremo: máximo local em .
Concavidade:
– Côncavo para cima em .
– Côncavo para baixo em .
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: ramo à esquerda e ramo à direita simétricos sobre o eixo , com as assíntotas indicadas e máximo local em
.
Raízes: nenhuma.
Intercepto em
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Monotonicidade:
– Cresce em
– Decresce em
Extremo: máximo local em
Concavidade:
– Côncavo para cima em
– Côncavo para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: ramo à esquerda e ramo à direita simétricos sobre o eixo