Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}
incluindo domínio, paridade, raízes, intercepto em y, assíntotas, monotonicidade (sinal de f'), concavidade (sinal de f''), pontos críticos e de inflexão, além do esboço do gráfico. Vamos usar técnicas de análise de funções racionais e derivação.

Passo 2

Domínio, paridade, raízes e intercepto em y:
– O denominador x^2-1\neq0 implica x\neq\pm1.
Logo o domínio é
D = (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
– Paridade:
f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x),
ou seja, f é par.
– Raízes: x^2+1=0 não tem solução real, logo não há interceptos em x.
– Intercepto em y:
f(0)=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1.

Passo 3

Assíntotas:
– Verticais onde x^2-1=0, isto é,
x=1\quad\text{e}\quad x=-1.
– Horizontal em \pm\infty: como grau do numerador e do denominador são iguais,
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{1}{1}=1,
logo assíntota y=1.

Passo 4

Derivada primeira e monotonicidade:
Calculemos
f'(x) =\frac{(2x)(x^2-1)-(x^2+1)(2x)}{(x^2-1)^2} =-\frac{4x}{(x^2-1)^2}.
O denominador é sempre positivo em D, logo o sinal de f' vem de -4x:
– Para x<0, -4x>0 \Rightarrow f'>0.
– Para x>0, -4x<0 \Rightarrow f'<0.
Assim
f cresce em (-\infty,-1)\cup(-1,0).
f decresce em (0,1)\cup(1,\infty).
O único ponto crítico em D é x=0, onde f' muda de positivo para negativo, caracterizando um máximo local em
(0,f(0))=(0,-1).

Passo 5

Derivada segunda e concavidade:
f''(x) =\frac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}.
O numerador 3x^2+1>0 para todo x. O denominador tem sinal:
– Se |x|>1, então x^2-1>0 e (x^2-1)^3>0 \Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
– Se |x|<1, então x^2-1<0 e (x^2-1)^3<0 \Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
Não há pontos de inflexão em D, pois f'' não se anula em nenhum ponto do domínio.

Passo 6

Tabela de variação e concavidade e esboço do gráfico:
– Em (-\infty,-1): cresce e é côncavo para cima; aproxima-se de (-\infty,1) com assíntota horizontal.
– Em (-1,0): cresce e é côncavo para baixo; vai de +\infty (próximo a -1^+) até (-1).
– Em (0,1): decresce e é côncavo para baixo; vai de -1 até +\infty em 1^-.
– Em (1,\infty): decresce e é côncavo para cima; vai de +\infty em 1^+ até aproximar-se de y=1.
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y, tem assíntotas verticais x=\pm1 e horizontal y=1, e único máximo local em (0,-1). Não há mínimos nem pontos de inflexão.

Resposta

Domínio:
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Paridade: par.
Raízes: nenhuma.
Intercepto em y: (0,-1).
Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
Assíntota horizontal: y=1.
Monotonicidade:
– Cresce em (-\infty,-1)\cup(-1,0).
– Decresce em (0,1)\cup(1,\infty).
Extremo: máximo local em (0,-1).
Concavidade:
– Côncavo para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
– Côncavo para baixo em (-1,1).
Pontos de inflexão: nenhum.
Gráfico: ramo à esquerda e ramo à direita simétricos sobre o eixo y, com as assíntotas indicadas e máximo local em (0,-1).

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