Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=x^{4}-4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=x^{4}-4x^{3}
Isso envolve: domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, derivadas primeira e segunda, estudo de sinais dessas derivadas, pontos de máximo, mínimo e inflexão, e esboço do gráfico. Como é um polinômio, teremos domínio em todos os reais e não precisaremos de limites em infinito para assíntotas horizontais ou verticais.

Passo 2

Domínio e paridade.
O f é um polinômio, logo seu domínio é \mathbb{R}.
Para paridade, calculamos
f(-x)=(-x)^{4}-4(-x)^{3}=x^{4}+4x^{3}\neq f(x)\text{ nem }-f(x),
portanto f não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Raízes e interseção com o eixo y.
Colocamos f(x)=0:
x^{4}-4x^{3}=x^{3}(x-4)=0
Isso dá as raízes x=0 (multiplicidade 3) e x=4 (multiplicidade 1). A interseção com o eixo y ocorre em x=0:
f(0)=0,
ou seja, o ponto (0,0) é também uma raiz.

Passo 4

Assíntotas.
Como f é polinomial de grau 4, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.

Passo 5

Primeira derivada e pontos críticos.
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3).
As raízes de f' são x=0 (multiplicidade 2) e x=3. Serão os candidatos a extremos.

Passo 6

Estudo do sinal de f'.
Intervalos: (-\infty,0), (0,3), (3,\infty).
Para x<0, x^{2}>0 e x-3<0; \Rightarrow f'(x)<0.
Para 0<x<3, x^{2}>0 e x-3<0; \Rightarrow f'(x)<0.
Para x>3, x^{2}>0 e x-3>0; \Rightarrow f'(x)>0.
Logo, f é decrescente em (-\infty,3) e crescente em (3,\infty). Em x=3 ocorre mudança de decrescimento para crescimento, caracterizando um mínimo local em x=3. Em x=0 não há mudança de sinal, portanto não há extremo em 0.

Passo 7

Valor do mínimo local.
f(3)=3^{4}-4\cdot3^{3}=81-108=-27.
Logo há um mínimo local em \bigl(3,-27\bigr).

Passo 8

Segunda derivada e pontos de inflexão.
f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2).
As raízes de f'' são x=0 e x=2.

Passo 9

Estudo do sinal de f''.
Intervalos: (-\infty,0), (0,2), (2,\infty).
Para x<0, x<0 e x-2<0; \Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
Para 0<x<2, x>0 e x-2<0; \Rightarrow f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Para x>2, x>0 e x-2>0; \Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
Mudanças de sinal em x=0 e x=2 indicam pontos de inflexão. Calculamos os valores:
f(0)=0,\quad f(2)=2^{4}-4\cdot2^{3}=16-32=-16.

Passo 10

Tabela resumida.
x | -\infty … 0 | 0 … 2 | 2 … 3 | 3 … \infty
f′(x) | – | – | – até 3, depois + | +
Monotonia | decrescente | decrescente | decrescente até 3, depois crescente | crescente
f″(x) | + (conc.↑) | – (conc.↓) | – | + (conc.↑)
Inflexão | em x=0 | em x=2 | |
Pontos especiais:
– Raízes: (0,0), (4,0).
– Mínimo local: \bigl(3,-27\bigr).
– Pontos de inflexão: \bigl(0,0\bigr), \bigl(2,-16\bigr).

Passo 11

Esboço do gráfico.
– Para x\to-\infty, f(x)\to+\infty.
– Vem decrescendo, concavo para cima, cruza em (0,0) e passa a concavar para baixo até x=2.
– Mantém decrescimento até x=3, atinge o mínimo (3,-27).
– A partir de 3 cresce, concavo para cima, cruza novamente o eixo em (4,0) e segue para +\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Paridade: nenhuma.
Raízes: x=0 (mult. 3) e x=4.
Interseção com eixo y: (0,0).
Assíntotas: nenhuma. f'(x)=4x^{2}(x-3): decrescente em (-\infty,3), crescente em (3,\infty); mínimo local em \bigl(3,-27\bigr). f''(x)=12x(x-2): inflexão em (0,0) e (2,-16); concavidade para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty) e para baixo em (0,2).
Gráfico: quartica com comportamento descrito no passo 11.

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