Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve: domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, derivadas primeira e segunda, estudo de sinais dessas derivadas, pontos de máximo, mínimo e inflexão, e esboço do gráfico. Como é um polinômio, teremos domínio em todos os reais e não precisaremos de limites em infinito para assíntotas horizontais ou verticais.
Passo 2
Domínio e paridade.
O f é um polinômio, logo seu domínio é
Para paridade, calculamos
O f é um polinômio, logo seu domínio é
Para paridade, calculamos
portanto
não é nem par nem ímpar.
Passo 3
Raízes e interseção com o eixo
.
Colocamos :
Colocamos
Isso dá as raízes
(multiplicidade 3) e
(multiplicidade 1). A interseção com o eixo
ocorre em
:
ou seja, o ponto
é também uma raiz.
Passo 4
Assíntotas.
Como é polinomial de grau 4, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.
Como
Passo 5
Primeira derivada e pontos críticos.
As raízes de
são
(multiplicidade 2) e
. Serão os candidatos a extremos.
Passo 6
Estudo do sinal de
.
Intervalos: ,
,
.
Para ,
e
;
.
Para ,
e
;
.
Para ,
e
;
.
Logo, é decrescente em
e crescente em
. Em
ocorre mudança de decrescimento para crescimento, caracterizando um mínimo local em
. Em
não há mudança de sinal, portanto não há extremo em 0.
Intervalos:
Para
Para
Para
Logo,
Passo 7
Valor do mínimo local.
Logo há um mínimo local em
.
Passo 8
Segunda derivada e pontos de inflexão.
As raízes de
são
e
.
Passo 9
Estudo do sinal de
.
Intervalos: ,
,
.
Para ,
e
;
(concavidade para cima).
Para ,
e
;
(concavidade para baixo).
Para ,
e
;
(concavidade para cima).
Mudanças de sinal em e
indicam pontos de inflexão. Calculamos os valores:
Intervalos:
Para
Para
Para
Mudanças de sinal em
Passo 10
Tabela resumida.
x | … 0 | 0 … 2 | 2 … 3 | 3 …
f′(x) | – | – | – até 3, depois + | +
Monotonia | decrescente | decrescente | decrescente até 3, depois crescente | crescente
f″(x) | + (conc.↑) | – (conc.↓) | – | + (conc.↑)
Inflexão | em | em
| |
x |
f′(x) | – | – | – até 3, depois + | +
Monotonia | decrescente | decrescente | decrescente até 3, depois crescente | crescente
f″(x) | + (conc.↑) | – (conc.↓) | – | + (conc.↑)
Inflexão | em
Pontos especiais:
– Raízes: ,
.
– Mínimo local: .
– Pontos de inflexão: ,
.
– Raízes:
– Mínimo local:
– Pontos de inflexão:
Passo 11
Esboço do gráfico.
– Para ,
.
– Vem decrescendo, concavo para cima, cruza em e passa a concavar para baixo até
.
– Mantém decrescimento até , atinge o mínimo
.
– A partir de cresce, concavo para cima, cruza novamente o eixo em
e segue para
.
– Para
– Vem decrescendo, concavo para cima, cruza em
– Mantém decrescimento até
– A partir de
Resposta
Domínio:
.
Paridade: nenhuma.
Raízes: (mult. 3) e
.
Interseção com eixo :
.
Assíntotas: nenhuma. : decrescente em
, crescente em
; mínimo local em
.
: inflexão em
e
; concavidade para cima em
e para baixo em
.
Gráfico: quartica com comportamento descrito no passo 11.
Paridade: nenhuma.
Raízes:
Interseção com eixo
Assíntotas: nenhuma.
Gráfico: quartica com comportamento descrito no passo 11.