Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
O conteúdo envolve: encontrar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo
, assíntotas, sinais de
e
, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade, além de localizar pontos de máximo, mínimo e inflexão e esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio: exigimos
, isto é,
ou
. Logo
Paridade: como
, a função é par.
Passo 3
Raízes: resolvemos
em que
. Assim
que pertencem ao domínio.
Interseção com eixo : corresponderia a
, mas
, logo não há interseção.
Interseção com eixo
Passo 4
Assíntotas verticais nos limites em que o argumento do log vai a zero:
portanto assíntotas verticais em
e
. Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois
quando
.
Passo 5
Derivada primeira:
Como o domínio divide-se em dois ramos, analisamos o sinal de
em cada um:
- Para
: numerador , denominador , logo . - Para
: numerador , denominador , logo .
Não há pontos críticos internos (o único zero deé em , fora do domínio), portanto é decrescente em e crescente em . Não há máximos nem mínimos locais.
Passo 6
Derivada segunda:
Como
e
em todo o domínio, resulta
sempre. Portanto a curva é côncava para baixo em ambos os ramos e não há ponto de inflexão.
Passo 7
Tabela de variação e concavidade:
Interpretação: em
a função decresce e é côncava para baixo; em
cresce e é côncava para baixo. Nos pontos
há assíntotas verticais.
Passo 8
Gráfico e pontos notáveis:
A curva possui dois ramos simétricos (função par).
No ramo esquerdo, parte de em
, decresce, cruza o eixo em
, e diverge a
em
.
No ramo direito, diverge a em
, cruza o eixo em
, e cresce para
em
.
Não há pontos de máximo, mínimo ou de inflexão internos, apenas as raízes e as assíntotas verticais
.
No ramo esquerdo, parte de
No ramo direito, diverge a
Não há pontos de máximo, mínimo ou de inflexão internos, apenas as raízes
Resposta
Domínio:
Paridade: par
Raízes:
Interseção com : nenhuma
Assíntotas verticais: e
Assíntotas horizontais/oblíquas: nenhuma
Monotonia: decrescente em , crescente em
Concavidade: sempre côncava para baixo
Extremos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos simétricos com comportamento descrito no Passo 8.
Paridade: par
Raízes:
Interseção com
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais/oblíquas: nenhuma
Monotonia: decrescente em
Concavidade: sempre côncava para baixo
Extremos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos simétricos com comportamento descrito no Passo 8.