Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\ln \left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}-1\bigr).
O conteúdo envolve: encontrar domínio, paridade, raízes, interseção com o eixo y, assíntotas, sinais de f' e f'', intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade, além de localizar pontos de máximo, mínimo e inflexão e esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio: exigimos x^{2}-1>0, isto é, x<-1 ou x>1. Logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\,\cup\,(1,\infty).
Paridade: como f(-x)=\ln\bigl((-x)^{2}-1\bigr)=\ln(x^{2}-1)=f(x), a função é par.

Passo 3

Raízes: resolvemos f(x)=0 em que \ln(x^{2}-1)=0\Rightarrow x^{2}-1=1\Rightarrow x^{2}=2. Assim
x=\pm\sqrt{2},
que pertencem ao domínio.
Interseção com eixo y: corresponderia a x=0, mas 0\notin\text{Dom}(f), logo não há interseção.

Passo 4

Assíntotas verticais nos limites em que o argumento do log vai a zero:
\lim_{x\to1^\pm}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to(-1)^\pm}f(x)=-\infty,
portanto assíntotas verticais em x=1 e x=-1. Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty.

Passo 5

Derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x^{2}-1)=\frac{2x}{x^{2}-1}.
Como o domínio divide-se em dois ramos, analisamos o sinal de f' em cada um:
  • Para x<-1: numerador 2x<0, denominador x^{2}-1>0, logo f'<0.
  • Para x>1: numerador 2x>0, denominador x^{2}-1>0, logo f'>0.
    Não há pontos críticos internos (o único zero de f' é em x=0, fora do domínio), portanto f é decrescente em (-\infty,-1) e crescente em (1,\infty). Não há máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x}{x^{2}-1}\Bigr) =-2\,\frac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}.
Como x^{2}+1>0 e (x^{2}-1)^{2}>0 em todo o domínio, resulta f''(x)<0 sempre. Portanto a curva é côncava para baixo em ambos os ramos e não há ponto de inflexão.

Passo 7

Tabela de variação e concavidade:
\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\\ \hline f'(x) & & - & & \text{—} & & + & \\\ \text{variação} & \nearrowdownarrow & & \searrow & & \nearrow & & \\\ f''(x) & & - & & & - & & \end{array}
Interpretação: em (-\infty,-1) a função decresce e é côncava para baixo; em (1,\infty) cresce e é côncava para baixo. Nos pontos x=\pm1 há assíntotas verticais.

Passo 8

Gráfico e pontos notáveis:
A curva possui dois ramos simétricos (função par).
No ramo esquerdo, parte de +\infty em x\to-\infty, decresce, cruza o eixo em x=-\sqrt{2}, e diverge a -\infty em x\to-1^-.
No ramo direito, diverge a -\infty em x\to1^+, cruza o eixo em x=+\sqrt{2}, e cresce para +\infty em x\to+\infty.
Não há pontos de máximo, mínimo ou de inflexão internos, apenas as raízes \pm\sqrt{2} e as assíntotas verticais x=\pm1.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
Paridade: par
Raízes: x=\pm\sqrt{2}
Interseção com y: nenhuma
Assíntotas verticais: x=-1 e x=1
Assíntotas horizontais/oblíquas: nenhuma
Monotonia: decrescente em (-\infty,-1), crescente em (1,\infty)
Concavidade: sempre côncava para baixo
Extremos locais: nenhum
Pontos de inflexão: nenhum
Esboço: dois ramos simétricos com comportamento descrito no Passo 8.

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