Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo y, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.
Conteúdo: análise de função racional. Vamos precisar de definição de domínio (denominador \neq 0), teste de paridade, resolução de f(x)=0, limites para assíntotas, cálculo de f' e f'' para monotonia e concavidade, montagem de tabela de sinais e esboço do gráfico com identificação de pontos especiais.

Passo 2

Domínio: basta exigir x^{2}-1\neq0, ou seja x\neq\pm1.
Logo
\mathrm{Dom}\,f = (-\infty,-1)\,\cup\,(-1,1)\,\cup\,(1,\infty).

Passo 3

Paridade:
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}-1}=\frac{-x}{x^{2}-1}=-f(x),
então f é função ímpar.

Passo 4

Raízes e intersecção com o eixo y:
Resolver f(x)=0 x=0, que pertence ao domínio.
Em x=0 temos f(0)=0, então há intersecção com o eixo y em (0,0).

Passo 5

Assíntotas verticais em x=\pm1. Comportamento lateral:
  • x\to1^-: x\approx1, numerador >0, denominador \to0^-, f\to-\infty.
  • x\to1^+: denom \to0^+, f\to+\infty.
  • x\to-1^-: numerador \approx-1, denom \to0^+, f\to-\infty.
  • x\to-1^+: denom \to0^-, f\to+\infty.
    Assíntote horizontal:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^{2}-1}=0,
logo y=0.

Passo 6

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{(x^{2}-1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-\bigl(x^{2}+1\bigr)}{(x^{2}-1)^{2}}.
No domínio, x^{2}+1>0 e (x^{2}-1)^{2}>0, logo f'(x)<0 em toda parte.
Conclusão: f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio; não há máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[-(x^{2}+1)(x^{2}-1)^{-2}\Bigr] =\frac{2\,x\,(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Análise de sinal:
– Numerador 2x(x^{2}+3) tem o mesmo sinal de x.
– Denominador (x^{2}-1)^{3} é positivo se |x|>1 e negativo se |x|<1.
Portanto:
- f''(x)>0 (côncava para cima) em (-1,0)\cup(1,\infty).
- f''(x)<0 (côncava para baixo) em (-\infty,-1)\cup(0,1).
Mudança de concavidade em x=0, que pertence ao domínio, gerando ponto de inflexão em (0,0).

Passo 8

Resumo dos sinais em cada intervalo:
Intervalo | f(x) | f'(x) | f''(x) | Monotonia | Concavidade
—|:—😐:—😐:—😐:---------😐:--------------: (-\infty,-1) | - | - | - | decrescente | côncava para baixo (-1,0) | + | - | + | decrescente | côncava para cima (0,1) | - | - | - | decrescente | côncava para baixo (1,\infty) | + | - | + | decrescente | côncava para cima
Não há extremos locais; há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 9

Esboço do gráfico:
  • Três ramos, separados pelas assíntotas verticais x=-1 e x=1.
  • Em cada ramo f decresce continuamente.
  • Em (-\infty,-1) e (0,1) a curva é côncava para baixo; em (-1,0) e (1,\infty) é côncava para cima.
  • Assíntote horizontal y=0.
  • Ponto de inflexão e intersecção em (0,0).

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Paridade: ímpar
Raízes: x=0 (ponto (0,0))
Assíntotas verticais: x=\pm1
Assíntote horizontal: y=0
Monotonia: estritamente decrescente em todo o domínio
Concavidade:
– côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(0,1)
– côncava para cima em (-1,0)\cup(1,\infty)
Extremos: nenhum
Ponto de inflexão: (0,0)

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