Faça o estudo completo da função. Isto é, domínio, paridade, raizes, intersecção com o eixo
, assíntotas, estudo do sinal da primeira derivada, estudo do sinal da segunda derivada, tabela de crescimento, decrescimento e concavidade, gráfico, identificando os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Conteúdo: análise de função racional. Vamos precisar de definição de domínio (denominador
), teste de paridade, resolução de
, limites para assíntotas, cálculo de
e
para monotonia e concavidade, montagem de tabela de sinais e esboço do gráfico com identificação de pontos especiais.
Passo 2
Domínio: basta exigir
, ou seja
.
Logo
Logo
Passo 3
Paridade:
então
é função ímpar.
Passo 4
Raízes e intersecção com o eixo
:
Resolver dá
, que pertence ao domínio.
Em temos
, então há intersecção com o eixo
em
.
Resolver
Em
Passo 5
Assíntotas verticais em
. Comportamento lateral:
-
: , numerador , denominador , . -
: denom , . -
: numerador , denom , . -
: denom , .
Assíntote horizontal:
logo
.
Passo 6
Derivada primeira:
No domínio,
e
, logo
em toda parte.
Conclusão: é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio; não há máximos ou mínimos locais.
Conclusão:
Passo 7
Derivada segunda:
Análise de sinal:
– Numerador tem o mesmo sinal de
.
– Denominador é positivo se
e negativo se
.
Portanto:
- (côncava para cima) em
.
- (côncava para baixo) em
.
Mudança de concavidade em , que pertence ao domínio, gerando ponto de inflexão em
.
– Numerador
– Denominador
Portanto:
-
-
Mudança de concavidade em
Passo 8
Resumo dos sinais em cada intervalo:
Intervalo |
|
|
| Monotonia | Concavidade
—|:—😐:—😐:—😐:---------😐:--------------: |
|
|
| decrescente | côncava para baixo
|
|
|
| decrescente | côncava para cima
|
|
|
| decrescente | côncava para baixo
|
|
|
| decrescente | côncava para cima
—|:—😐:—😐:—😐:---------😐:--------------:
Não há extremos locais; há ponto de inflexão em
.
Passo 9
Esboço do gráfico:
- Três ramos, separados pelas assíntotas verticais
e . - Em cada ramo
decresce continuamente. - Em
e a curva é côncava para baixo; em e é côncava para cima. - Assíntote horizontal
. - Ponto de inflexão e intersecção em
.
Resposta
Domínio:
Paridade: ímpar
Raízes: (ponto
)
Assíntotas verticais:
Assíntote horizontal:
Monotonia: estritamente decrescente em todo o domínio
Concavidade:
– côncava para baixo em
– côncava para cima em
Extremos: nenhum
Ponto de inflexão:
Paridade: ímpar
Raízes:
Assíntotas verticais:
Assíntote horizontal:
Monotonia: estritamente decrescente em todo o domínio
Concavidade:
– côncava para baixo em
– côncava para cima em
Extremos: nenhum
Ponto de inflexão: