Faça o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas horizontais e verticais, sinais de f' e f'', tabela de crescimento/concavidade, esboço do gráfico e pontos de máximo, mínimo e inflexão. Vamos usar cálculo diferencial e limites para chegar a tudo isso.

Passo 2

Domínio de f: como o denominador x^{2}+1 nunca se anula para x\in\mathbb{R}, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Raízes de f: resolvendo
\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=0
vem x^{2}=0, logo a única raiz é x=0.

Passo 4

Paridade de f: verifica-se
f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}+1}=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=f(x),
portanto f é função par.

Passo 5

Assíntotas horizontais:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}(1+1/x^{2})} =\frac{1}{1+0}=1.
Há a assíntota horizontal y=1.

Passo 6

Assíntotas verticais: o denominador x^{2}+1 nunca zera, logo não há assíntotas verticais.

Passo 7

Derivada primeira e seu sinal:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\Bigr) =\frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Temos crítico em x=0. Para x<0, f'(x)<0 (decrescente) e para x>0, f'(x)>0 (crescente). Logo x=0 é ponto de mínimo global, com valor
f(0)=0.

Passo 8

Derivada segunda e pontos de inflexão:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\Bigr) =\frac{2(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}.
Zera quando 1-3x^{2}=0, ou seja x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Para |x|<\tfrac{1}{\sqrt{3}}, 1-3x^{2}>0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}}, 1-3x^{2}<0 então f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Os pontos de inflexão são
\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\,f\bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\Bigr) =\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{1/3}{1+1/3}\Bigr) =\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{1}{4}\Bigr).

Passo 9

Tabela de crescimento e concavidade:
Intervalo f′(x) Monotonia f′′(x) Concavidade (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) <0 decrescente <0 para baixo (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},0) <0 decrescente >0 para cima (0,\tfrac{1}{\sqrt{3}}) >0 crescente >0 para cima (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty) >0 crescente <0 para baixo

Passo 10

Esboço do gráfico e identificação dos pontos notáveis:
  • A função é par, simétrica em relação ao eixo y.
  • Tem mínimo global em (0,0).
  • Aproxima-se de y=1 quando x\to\pm\infty.
  • Não há máximos.
  • Inflecte em \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{4}\bigr).
[desenho qualitativo] curva em “U aberto” de baixo, com fundo em (0,0), inflexões em \pm0{,}577 e ramos subindo para a reta y=1.

Resposta

Mínimo global: \,(0,0).
Pontos de inflexão: \bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{4}\bigr).
Máximos: nenhum.
Assíntota horizontal: y=1.
Sem assíntotas verticais.

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