Faça o estudo completo da função
isto é,
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)
domínio,
raízes,
paridade,
assíntotas horizontais,
assíntotas verticais,
estudo do sinal da derivada primeira,
estudo do sinal da derivada segunda,
tabela de crescimento/concavidade
esboço do gráfico da função.
e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
(1,1 pts)
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
incluindo domínio, raízes, paridade, assíntotas horizontais e verticais, sinais de
e
, tabela de crescimento/concavidade, esboço do gráfico e pontos de máximo, mínimo e inflexão. Vamos usar cálculo diferencial e limites para chegar a tudo isso.
Passo 2
Domínio de
: como o denominador
nunca se anula para
, o domínio é
Passo 3
Raízes de
: resolvendo
vem
, logo a única raiz é
Passo 4
Paridade de
: verifica-se
portanto
é função par.
Passo 5
Assíntotas horizontais:
Há a assíntota horizontal
Passo 6
Assíntotas verticais: o denominador
nunca zera, logo não há assíntotas verticais.
Passo 7
Derivada primeira e seu sinal:
Temos crítico em
. Para
,
(decrescente) e para
,
(crescente). Logo
é ponto de mínimo global, com valor
Passo 8
Derivada segunda e pontos de inflexão:
Zera quando
, ou seja
.
- Para
, então (concavidade para cima). - Para
, então (concavidade para baixo).
Os pontos de inflexão são
Passo 9
Tabela de crescimento e concavidade:
Intervalo f′(x) Monotonia f′′(x) Concavidade
<0 decrescente <0 para baixo
<0 decrescente >0 para cima
>0 crescente >0 para cima
>0 crescente <0 para baixo
Passo 10
Esboço do gráfico e identificação dos pontos notáveis:
- A função é par, simétrica em relação ao eixo
. - Tem mínimo global em
. - Aproxima-se de
quando . - Não há máximos.
- Inflecte em
.
[desenho qualitativo] curva em “U aberto” de baixo, com fundo em
, inflexões em
e ramos subindo para a reta
.
Resposta
Mínimo global:
.
Pontos de inflexão: .
Máximos: nenhum.
Assíntota horizontal: .
Sem assíntotas verticais.
Pontos de inflexão:
Máximos: nenhum.
Assíntota horizontal:
Sem assíntotas verticais.