Faça o estudo das funções abaixo. f(x)=\left|x^{2}-\frac{7}{3} x+\frac{2}{3}\right|.
Passo 1
O enunciado pede o estudo da função
f(x)=\left|x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}\right|.
Informações dadas que vou usar:
A expressão dentro do módulo é o polinômio quadrático \displaystyle x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}.
Não há restrição explícita no domínio (logo, a função é definida para todos os x reais).
As perguntas que vamos responder ao longo do estudo (vou listar e depois resolver passo a passo): domínio, zeros (raízes), sinal da expressão dentro do módulo, forma em partes (expressão sem módulo), continuidade, derivabilidade (pontos onde a derivada pode não existir), cálculo da derivada nas partes, pontos críticos e extremos, monotonicidade, concavidade/convexidade e imagem (contradomínio efetivo).
Passo 2
Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio dentro do módulo para entender onde ele zera e muda de sinal. Vou multiplicar por 3 para evitar frações temporariamente:
(Os valores nos pontos \displaystyle \frac{1}{3}\] e \(2 coincidem em ambas as fórmulas e valem 0.)]
Passo 4
Domínio e continuidade.
Domínio: f é valor absoluto de um polinômio, então está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.
Continuidade: polinômios são contínuos e a função valor absoluto preserva continuidade (composição de funções contínuas). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}.
Passo 5
Zeros (raízes) e sinal da função.
Zeros: como vimos na fatoração, os zeros de f (ou seja, onde o valor absoluto é zero) são
x=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad x=2,
porque aí a expressão dentro do módulo é zero e |0|=0.
Sinal: f(x)\ge 0 para todo x (por definição de módulo). O polinômio interno é positivo para x\in(-\infty,\tfrac{1}{3})\cup(2,\infty) e negativo para x\in(\tfrac{1}{3},2); o módulo volta esses sinais para não-negativo.
Passo 6
Derivabilidade e regra prática para derivada do módulo.
Teoria rápida e didática: se g\) é diferenciável e \(g(x)\neq 0\), então a derivada de \(|g(x)|\) é dada por
\[\frac{d}{dx}|g(x)| = g'(x)\cdot\operatorname{sgn}(g(x)),
onde \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0 e -1 se t<0. Intuição: fora dos zeros o módulo apenas multiplica por +1 ou -1 a função interna, então a derivada é g' ou -g'. No ponto onde g(x)=0 a função |g| pode ter canto e pode não ser diferenciável — é preciso verificar as derivadas laterais.
Como f(x)\ge 0 sempre e f(\tfrac{1}{3})=f(2)=0, estes são mínimos globais (valor mínimo 0 atingido).
Em \displaystyle x=\frac{7}{6} temos f com valor \dfrac{25}{36} e, olhando o comportamento da derivada (veja Step 8), este ponto é um máximo local (não máximo global, pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty).
Passo 8
Monotonicidade (estudo do sinal de f' em cada intervalo).
Para x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}): f'(x)=2x-\dfrac{7}{3}. Como 2x-\dfrac{7}{3}<0 para x<\dfrac{7}{6} e em particular para x<\tfrac{1}{3}, temos f'<0 aí. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{3}).
Para x\in(\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}): f'(x)=\dfrac{7}{3}-2x>0, logo f é estritamente crescente em (\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}).
Para x\in(\tfrac{7}{6},2): f'(x)=\dfrac{7}{3}-2x<0, logo f é estritamente decrescente em (\tfrac{7}{6},2).
Para x\in(2,\infty): f'(x)=2x-\dfrac{7}{3}>0, então f é estritamente crescente em (2,\infty).
Resumo qualitativo: decresce até \tfrac{1}{3}, sobe até \tfrac{7}{6}, cai até 2, e depois sobe indefinidamente.
Passo 9
Concavidade / convexidade (segunda derivada onde existe).
Em regiões onde f\) é derivável duas vezes (ou seja, fora das raízes), a segunda derivada é a derivada de \(f'\):
\[f''(x)= \begin{cases} 2, & x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}),\\[4pt] -2, & x\in(\tfrac{1}{3},2),\\[4pt] 2, & x\in(2,\infty). \end{cases}
Interpretação: onde f''(x)>0\] (aqui \(2) a função é convexa (curva para cima). Onde f''(x)<0 (aqui -2) a função é côncava (curva para baixo). Assim:
f é convexa em (-\infty,\tfrac{1}{3}) e em (2,\infty).
f é côncava em (\tfrac{1}{3},2).
Nos pontos \tfrac{1}{3} e 2 não há segunda derivada (são pontos de mudança de concavidade e não são pontos de duas vezes diferenciabilidade).]
Passo 10
Comportamento para |x|\to\infty e imagem.
Como a expressão dentro do módulo é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo, |x^{2}-\tfrac{7}{3}x+\tfrac{2}{3}|\to\infty quando |x|\to\infty. Então f é não limitada superiormente.
O menor valor de f é 0 (pois f\ge 0) e este valor é atingido em x=\tfrac{1}{3} e x=2. Assim a imagem (contradomínio efetivo) é
Pontos críticos e extremos: ponto crítico interior x=\dfrac{7}{6}\] com \(f\!\left(\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{25}{36} (máximo local); mínimos globais em x=\dfrac{1}{3} e x=2 com valor 0.
Monotonicidade:
Estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{3}).
Estritamente crescente em (\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}).
Estritamente decrescente em (\tfrac{7}{6},2).
Estritamente crescente em (2,\infty).
Concavidade:
Convexa em (-\infty,\tfrac{1}{3}) e em (2,\infty) (f''=2).