Faça o estudo das funções abaixo.
f(x)=\left|x^{2}-\frac{7}{3} x+\frac{2}{3}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o estudo da função
f(x)=\left|x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}\right|.
Informações dadas que vou usar:
  • A expressão dentro do módulo é o polinômio quadrático \displaystyle x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}.
  • Não há restrição explícita no domínio (logo, a função é definida para todos os x reais).
    As perguntas que vamos responder ao longo do estudo (vou listar e depois resolver passo a passo): domínio, zeros (raízes), sinal da expressão dentro do módulo, forma em partes (expressão sem módulo), continuidade, derivabilidade (pontos onde a derivada pode não existir), cálculo da derivada nas partes, pontos críticos e extremos, monotonicidade, concavidade/convexidade e imagem (contradomínio efetivo).

Passo 2

Primeiro passo técnico: fatorar o polinômio dentro do módulo para entender onde ele zera e muda de sinal. Vou multiplicar por 3 para evitar frações temporariamente:
3x^{2}-7x+2=0.
Calculo do discriminante:
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 3\cdot 2 = 49-24=25.
Raízes (fórmula de Bhaskara):
x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot 3}=\frac{7\pm 5}{6}.
Portanto as raízes são
x=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{7+5}{6}=2.
Como as raízes são \displaystyle \frac{1}{3} e \displaystyle 2, o polinômio se fatoriza como
x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{2}{3}=\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-2\right).

Passo 3

Com a fatoração, escrevemos [f) sem o módulo por partes, observando o sinal do produto \left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-2\right):
  • Para x<\frac{1}{3}: ambos os fatores são negativos, produto positivo, então o polinômio é \ge 0.
  • Para \frac{1}{3}<x<2: um fator é positivo e o outro negativo, produto negativo.
  • Para x>2: ambos positivos, produto positivo.
Assim a forma peça-a-peça da função é
f(x)= \begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & x\le \dfrac{1}{3},\\[6pt] -\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & \dfrac{1}{3}\le x\le 2,\\[6pt] \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & x\ge 2. \end{cases}
(Os valores nos pontos \displaystyle \frac{1}{3}\] e \(2 coincidem em ambas as fórmulas e valem 0.)]

Passo 4

Domínio e continuidade.
  • Domínio: f é valor absoluto de um polinômio, então está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Continuidade: polinômios são contínuos e a função valor absoluto preserva continuidade (composição de funções contínuas). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Zeros (raízes) e sinal da função.
  • Zeros: como vimos na fatoração, os zeros de f (ou seja, onde o valor absoluto é zero) são
x=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad x=2,
porque aí a expressão dentro do módulo é zero e |0|=0.
  • Sinal: f(x)\ge 0 para todo x (por definição de módulo). O polinômio interno é positivo para x\in(-\infty,\tfrac{1}{3})\cup(2,\infty) e negativo para x\in(\tfrac{1}{3},2); o módulo volta esses sinais para não-negativo.

Passo 6

Derivabilidade e regra prática para derivada do módulo.
  • Teoria rápida e didática: se g\) é diferenciável e \(g(x)\neq 0\), então a derivada de \(|g(x)|\) é dada por \[\frac{d}{dx}|g(x)| = g'(x)\cdot\operatorname{sgn}(g(x)),
onde \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0 e -1 se t<0. Intuição: fora dos zeros o módulo apenas multiplica por +1 ou -1 a função interna, então a derivada é g' ou -g'. No ponto onde g(x)=0 a função |g| pode ter canto e pode não ser diferenciável — é preciso verificar as derivadas laterais.
  • Aqui g(x)=x^{2}-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3}. Calculamos
g'(x)=2x-\frac{7}{3}.
Assim a derivada de f fora das raízes é
f'(x)= \begin{cases} 2x-\dfrac{7}{3}, & x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}),\\[6pt] -\left(2x-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{7}{3}-2x, & x\in(\tfrac{1}{3},2),\\[6pt] 2x-\dfrac{7}{3}, & x\in(2,\infty). \end{cases}
  • Agora verificar derivadas laterais nos pontos problemáticos \displaystyle x=\frac{1}{3}\] e \(x=2.
Calculo das derivadas laterais:
f'_-\!\left(\frac{1}{3}\right)=\left.2x-\frac{7}{3}\right|_{x=\frac{1}{3}}=2\cdot\frac{1}{3}-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}-\frac{7}{3}=-\frac{5}{3},
f'_+\!\left(\frac{1}{3}\right)=\left.\frac{7}{3}-2x\right|_{x=\frac{1}{3}}=\frac{7}{3}-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Como f'_-\left(\tfrac{1}{3}\right)\neq f'_+\left(\tfrac{1}{3}\right), f não é diferenciável em x=\tfrac{1}{3}.
De forma análoga em x=2:
f'_-\!(2)=\left.\frac{7}{3}-2x\right|_{x=2}=\frac{7}{3}-4=\frac{7-12}{3}=-\frac{5}{3},
f'_+\!(2)=\left.2x-\frac{7}{3}\right|_{x=2}=4-\frac{7}{3}=\frac{12-7}{3}=\frac{5}{3}.
Logo f também não é diferenciável em x=2.]

Passo 7

Pontos críticos e extremos.
  • Pontos críticos interiores (onde f' se anula): resolvemos 2x-\dfrac{7}{3}=0 ou \dfrac{7}{3}-2x=0. Ambas dão a mesma solução
x=\frac{7}{6}.
Note que \displaystyle \frac{7}{6} pertence ao intervalo (\tfrac{1}{3},2), onde f'(x)=\dfrac{7}{3}-2x. Portanto é ponto crítico válido.
  • Valores nesses pontos:
f\!\left(\frac{1}{3}\right)=0,\qquad f(2)=0.
Para x=\dfrac{7}{6},
g\!\left(\frac{7}{6}\right)=\left(\frac{7}{6}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{7}{6}-2\right)=\left(\frac{5}{6}\right)\left(-\frac{5}{6}\right)=-\frac{25}{36},
portanto
f\!\left(\frac{7}{6}\right)=\left|-\frac{25}{36}\right|=\frac{25}{36}.
  • Natureza dos pontos:
    • Como f(x)\ge 0 sempre e f(\tfrac{1}{3})=f(2)=0, estes são mínimos globais (valor mínimo 0 atingido).
    • Em \displaystyle x=\frac{7}{6} temos f com valor \dfrac{25}{36} e, olhando o comportamento da derivada (veja Step 8), este ponto é um máximo local (não máximo global, pois f(x)\to\infty quando |x|\to\infty).

Passo 8

Monotonicidade (estudo do sinal de f' em cada intervalo).
  • Para x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}): f'(x)=2x-\dfrac{7}{3}. Como 2x-\dfrac{7}{3}<0 para x<\dfrac{7}{6} e em particular para x<\tfrac{1}{3}, temos f'<0 aí. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{3}).
  • Para x\in(\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}): f'(x)=\dfrac{7}{3}-2x>0, logo f é estritamente crescente em (\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}).
  • Para x\in(\tfrac{7}{6},2): f'(x)=\dfrac{7}{3}-2x<0, logo f é estritamente decrescente em (\tfrac{7}{6},2).
  • Para x\in(2,\infty): f'(x)=2x-\dfrac{7}{3}>0, então f é estritamente crescente em (2,\infty).
Resumo qualitativo: decresce até \tfrac{1}{3}, sobe até \tfrac{7}{6}, cai até 2, e depois sobe indefinidamente.

Passo 9

Concavidade / convexidade (segunda derivada onde existe).
  • Em regiões onde f\) é derivável duas vezes (ou seja, fora das raízes), a segunda derivada é a derivada de \(f'\): \[f''(x)= \begin{cases} 2, & x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}),\\[4pt] -2, & x\in(\tfrac{1}{3},2),\\[4pt] 2, & x\in(2,\infty). \end{cases}
  • Interpretação: onde f''(x)>0\] (aqui \(2) a função é convexa (curva para cima). Onde f''(x)<0 (aqui -2) a função é côncava (curva para baixo). Assim:
    • f é convexa em (-\infty,\tfrac{1}{3}) e em (2,\infty).
    • f é côncava em (\tfrac{1}{3},2).
  • Nos pontos \tfrac{1}{3} e 2 não há segunda derivada (são pontos de mudança de concavidade e não são pontos de duas vezes diferenciabilidade).]

Passo 10

Comportamento para |x|\to\infty e imagem.
  • Como a expressão dentro do módulo é um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo, |x^{2}-\tfrac{7}{3}x+\tfrac{2}{3}|\to\infty quando |x|\to\infty. Então f é não limitada superiormente.
  • O menor valor de f é 0 (pois f\ge 0) e este valor é atingido em x=\tfrac{1}{3} e x=2. Assim a imagem (contradomínio efetivo) é
[0,\infty).

Resposta

Domínio: [\mathbb{R})
Zeros: x=\dfrac{1}{3} e x=2
Forma por partes:
f(x)= \begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & x\le \dfrac{1}{3},\\[6pt] -\left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & \dfrac{1}{3}\le x\le 2,\\[6pt] \left(x-\dfrac{1}{3}\right)\left(x-2\right), & x\ge 2 \end{cases}
Continuidade: contínua em todo (\mathbb{R}]
Derivabilidade: não diferenciável em [x=\dfrac{1}{3}) e x=2; diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{3},2\}
Derivada (onde existe):
f'(x)= \begin{cases} 2x-\dfrac{7}{3}, & x\in(-\infty,\tfrac{1}{3}),\\[6pt] \dfrac{7}{3}-2x, & x\in(\tfrac{1}{3},2),\\[6pt] 2x-\dfrac{7}{3}, & x\in(2,\infty). \end{cases}
Pontos críticos e extremos: ponto crítico interior x=\dfrac{7}{6}\] com \(f\!\left(\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{25}{36} (máximo local); mínimos globais em x=\dfrac{1}{3} e x=2 com valor 0.
Monotonicidade:
  • Estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{3}).
  • Estritamente crescente em (\tfrac{1}{3},\tfrac{7}{6}).
  • Estritamente decrescente em (\tfrac{7}{6},2).
  • Estritamente crescente em (2,\infty).
Concavidade:
  • Convexa em (-\infty,\tfrac{1}{3}) e em (2,\infty) ( f''=2).
  • Côncava em (\tfrac{1}{3},2) ( f''=-2).
Imagem: [0,\infty)]

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