Faça o estudo de sinal da função f(x), onde estiver definida, descrevendo corretamente onde é positiva, onde é negativa e onde é nula.

Passo 1

A questão pede para fazermos o estudo de sinal da função f(x)=x^2l(x-17r)x-13. O conteúdo é análise de sinais de funções racionais, onde vamos usar zeros do numerador, pontos de descontinuidade do denominador e multiplicidade de raízes.

Passo 2

Primeiro vamos achar o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, temos x-13neq0, logo o domínio é Rsetminustfrac13.

Passo 3

Agora identificamos os pontos críticos: o numerador x^2l(x-tfrac17r) anula-se em x=0 (multiplicidade 2) e x=tfrac17 (multiplicidade 1). O denominador anula-se em x=tfrac13, que é um ponto de descontinuidade (vertical).

Passo 4

Em seguida analisamos o sinal de cada fator nos intervalos determinados por -infty,0,tfrac17,tfrac13,+infty:
  • x^2 é sempre >=0 e só zera em x=0, mas não muda de sinal ali (multiplicidade par).
  • x-tfrac17 é negativo para x e positivo para x>tfrac17.
  • x-tfrac13 é negativo para x e positivo para x>tfrac13.
    Daí o sinal de f(x) é o de x-tfrac17x-tfrac13, pois x^2>0 fora de zero. Fazendo o quadro de sinais, vemos:
    • Para x<0: numerador (-)/(x negativo, denominador (x negativo, então f>0.
    • Para 0: numerador negativo, denominador negativo, então f>0.
    • Para tfrac17: numerador positivo, denominador negativo, então f<0.
    • Para x>tfrac13: numerador positivo, denominador positivo, então f>0.

Passo 5

Juntando tudo, concluímos onde f(x) é positiva, negativa ou zero.

Resposta

A função é nula em x=0 (multiplicidade 2) e em x=1/7. Está definida em R{1/3}. O estudo de sinal dá:
  • f(x)>0 em (-∞,0) ∪ (0,1/7) ∪ (1/3,∞)
  • f(x)<0 em (1/7,1/3)
  • f(x)=0 em x=0 e x=1/7
  • f não está definida em x=1/3.

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