Faça o estudo de sinal da função
, onde estiver definida, descrevendo corretamente onde
é positiva, onde é negativa e onde é nula.
Passo 1
A questão pede para fazermos o estudo de sinal da função
. O conteúdo é análise de sinais de funções racionais, onde vamos usar zeros do numerador, pontos de descontinuidade do denominador e multiplicidade de raízes.
Passo 2
Primeiro vamos achar o domínio de
. Como o denominador não pode ser zero, temos
, logo o domínio é
.
Passo 3
Agora identificamos os pontos críticos: o numerador
anula-se em
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). O denominador anula-se em
, que é um ponto de descontinuidade (vertical).
Passo 4
Em seguida analisamos o sinal de cada fator nos intervalos determinados por
:
-
é sempre e só zera em , mas não muda de sinal ali (multiplicidade par). -
é negativo para e positivo para . -
é negativo para e positivo para .
Daí o sinal deé o de , pois fora de zero. Fazendo o quadro de sinais, vemos:
• Para: numerador negativo, denominador negativo, então .
• Para: numerador negativo, denominador negativo, então .
• Para: numerador positivo, denominador negativo, então .
• Para: numerador positivo, denominador positivo, então .
Passo 5
Juntando tudo, concluímos onde
é positiva, negativa ou zero.
Resposta
A função é nula em x=0 (multiplicidade 2) e em x=1/7. Está definida em R{1/3}. O estudo de sinal dá:
- f(x)>0 em (-∞,0) ∪ (0,1/7) ∪ (1/3,∞)
- f(x)<0 em (1/7,1/3)
- f(x)=0 em x=0 e x=1/7
- f não está definida em x=1/3.