Faça um exercício envolvendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Calcule o Jacobiano da Transformação.
Descreva o domínio da Região de Integração em termos das coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Vamos considerar o sólido V limitado pelo paraboloide
z = x^2 + y^2
e pelo plano
z = 4.
O objetivo é usar coordenadas cilíndricas para descrever esse domínio e calcular o Jacobiano da transformação (r,\theta,z)\mapsto(x,y,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\\ \sin\theta & \;r\cos\theta & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
cujo determinante é
J = \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = r.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o paraboloide vira z = r^2 e o plano é z=4. Além disso, para existir r^2\le4 precisamos 0\le r\le2. O ângulo percorre toda a volta: 0\le\theta\le2\pi. Por fim z varia de r^2 até 4.
Logo o domínio V em cilíndricas é
\{(r,\theta,z)\mid 0 \le r \le 2,\;0\le\theta\le2\pi,\;r^{2}\le z\le 4\}.

Resposta

Jacobiano: J=r.
Domínio em cilíndricas:
0 \le r \le 2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad r^{2}\le z\le4.

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