O que precisamos devolver: matrizes P, L e U tais que
PA=LU,
onde P é matriz de permutação (de pivoteamento parcial), L é triangular inferior com diagonal igual a 1 (contendo os multiplicadores usados nas eliminações) e U é triangular superior.
Passo 2
Explicando o procedimento (passo-a-passo didático e o que cada símbolo significa):
P é a matriz de permutação que registra trocas de linhas feitas para escolher pivôs numéricos estáveis. Cada troca de linhas de A corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz P que troca as mesmas linhas.
U é a matriz triangular superior obtida após aplicar eliminações (de Gauss) na matriz permutada PA.
L é a matriz triangular inferior com 1s na diagonal; os elementos abaixo da diagonal são exatamente os multiplicadores l_{ij} usados para zerar entradas (isto é, l_{ij}= \dfrac{\text{entrada a ser zerada}}{\text{pivô}}ô no momento da eliminação).
Pivoteamento parcial: em cada coluna, entre as linhas ainda não eliminadas, escolhe-se como pivô a entrada de maior valor absoluto; se for necessário, troca-se a linha atual com a linha do pivô. Assim evitamos pivôs pequenos que aumentam erros numéricos.
Vou agora aplicar este procedimento explicitamente à matriz dada, calculando multipliers, fazendo as trocas e formando P, L e U.
Passo 3
Primeira etapa (coluna 1): identificar o pivô parcial.
Olhando a primeira coluna de A, as entradas são \;1,\\\ -2,\\\ 0\;. Seus módulos são \;1,\\\ 2,\\\ 0\;.
O maior módulo é 2, que está na segunda linha. Portanto trocamos a linha 1 com a linha 2.
A permutação correspondente é a troca das linhas 1 e 2, ou seja
(Nota: peguei esses dados diretamente da matriz A e da troca que acabei de descrever.)]
Passo 4
Eliminação na primeira coluna (usar a_{11}=-2 como pivô).
Definimos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1:l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2},\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{0}{-2}=0.Aqui a_{ij} são entradas da matriz PA antes da eliminação.
Usamos esses multiplicadores para atualizar as linhas 2 e 3:
Linha 2 \leftarrow Linha 2 - l_{21}\times Linha 1. Como l_{21}=-\tfrac12, isso é Linha 2 + \tfrac12 Linha 1.
Linha 3 \leftarrow Linha 3 - l_{31}\times Linha 1. Como l_{31}=0, a linha 3 permanece.
Cálculo explícito: