Faça a fatoração LU com pivoteamento parcial das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & 2 \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para fazer a fatoração LU com pivoteamento parcial da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\text{Matriz }A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
O que precisamos devolver: matrizes P, L e U tais que
PA=LU,
onde P é matriz de permutação (de pivoteamento parcial), L é triangular inferior com diagonal igual a 1 (contendo os multiplicadores usados nas eliminações) e U é triangular superior.

Passo 2

Explicando o procedimento (passo-a-passo didático e o que cada símbolo significa):
  • P é a matriz de permutação que registra trocas de linhas feitas para escolher pivôs numéricos estáveis. Cada troca de linhas de A corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz P que troca as mesmas linhas.
  • U é a matriz triangular superior obtida após aplicar eliminações (de Gauss) na matriz permutada PA.
  • L é a matriz triangular inferior com 1s na diagonal; os elementos abaixo da diagonal são exatamente os multiplicadores l_{ij} usados para zerar entradas (isto é, l_{ij}= \dfrac{\text{entrada a ser zerada}}{\text{pivô}}ô no momento da eliminação).
  • Pivoteamento parcial: em cada coluna, entre as linhas ainda não eliminadas, escolhe-se como pivô a entrada de maior valor absoluto; se for necessário, troca-se a linha atual com a linha do pivô. Assim evitamos pivôs pequenos que aumentam erros numéricos.
Vou agora aplicar este procedimento explicitamente à matriz dada, calculando multipliers, fazendo as trocas e formando P, L e U.

Passo 3

Primeira etapa (coluna 1): identificar o pivô parcial.
  • Olhando a primeira coluna de A, as entradas são \;1,\\\ -2,\\\ 0\;. Seus módulos são \;1,\\\ 2,\\\ 0\;.
  • O maior módulo é 2, que está na segunda linha. Portanto trocamos a linha 1 com a linha 2.
    A permutação correspondente é a troca das linhas 1 e 2, ou seja
P=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando a troca em A obtemos PA:
PA=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt]1 & -3 & 2\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
(Nota: peguei esses dados diretamente da matriz A e da troca que acabei de descrever.)]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna (usar a_{11}=-2 como pivô).
  • Definimos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1: l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2},\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{0}{-2}=0.Aqui a_{ij} são entradas da matriz PA antes da eliminação.
  • Usamos esses multiplicadores para atualizar as linhas 2 e 3:
    • Linha 2 \leftarrow Linha 2 - l_{21}\times Linha 1. Como l_{21}=-\tfrac12, isso é Linha 2 + \tfrac12 Linha 1.
    • Linha 3 \leftarrow Linha 3 - l_{31}\times Linha 1. Como l_{31}=0, a linha 3 permanece.
      Cálculo explícito:
  • Linha 1 (pivot): \;(-2,\;0,\;1).
  • Linha 2 original: \;(1,\;-3,\;2). \text{Linha 2 nova} = (1,-3,2) + \tfrac12(-2,0,1) = (1-1,\;-3+0,\;2+\tfrac12)=(0,\;-3,\;\tfrac{5}{2}).
  • Linha 3 permanece (0,1,1).
    Após essa etapa a matriz U temporária (após primeira coluna) é
U^{(1)}=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt]0 & -3 & \tfrac{5}{2}\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
E já sabemos os multiplicadores l_{21}=-\tfrac12 e l_{31}=0 que entrarão em L.]

Passo 5

Segunda etapa (coluna 2): escolher pivô parcial entre as linhas 2 e 3 (linhas abaixo da primeira já eliminada).
  • Olhando a coluna 2 nas linhas 2 e 3 de U^{(1)} temos -3 e 1. Em módulo: 3 e 1. O maior é 3, que está na linha 2, portanto não é necessária troca.
  • O pivô da segunda etapa é a_{22}=-3.
  • Multiplicador para zerar a entrada em (3,2): l_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{1}{-3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Atualizamos a linha 3: \text{Linha 3 nova}=\text{Linha 3} - l_{32}\times\text{Linha 2}.
Como l_{32}=-\tfrac13 isso equivale a adicionar \tfrac{1}{3} da linha 2 à linha 3.
Cálculo explícito:
  • Linha 2 atual: (0,-3,\tfrac{5}{2}).
  • Linha 3 atual: (0,1,1). \text{Linha 3 nova} = (0,1,1) + \tfrac{1}{3}(0,-3,\tfrac{5}{2}) = (0,\;1-1,\;1+\tfrac{5}{6})=(0,\;0,\;\tfrac{11}{6}).
Depois dessa segunda eliminação a matriz U final é
U=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt]0 & -3 & \tfrac{5}{2}\\[4pt]0 & 0 & \tfrac{11}{6}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Construindo a matriz L:
  • A matriz L tem diagonal igual a 1 e, abaixo da diagonal, os multiplicadores usados nas eliminações aplicadas à matriz permutada PA.
  • Já calculamos: l_{21}=-\tfrac{1}{2},\quad l_{31}=0,\quad l_{32}=-\tfrac{1}{3}.
  • Então
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt]0 & -\tfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (mostrando que PA=LU):
  • Já temos P e PA (veja Passo 3) e temos L e U acima.
  • Multiplicando L por U (produto mostrado resumidamente) obtemos
    • Primeira linha: mesma de U, (-2,0,1).
    • Segunda linha: -\tfrac12 vezes a primeira linha de U mais a segunda linha de U = (1,-3,2).
    • Terceira linha: 0 vezes a primeira linha mais -\tfrac13 vezes a segunda linha mais a terceira linha = (0,1,1).
  • Isso coincide com PA calculada anteriormente, confirmando que
PA=LU.

Resposta

P=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt]0 & -\tfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 1\\[4pt]0 & -3 & \tfrac{5}{2}\\[4pt]0 & 0 & \tfrac{11}{6}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados