O objetivo final é encontrar o vetor \,x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\, que satisfaz A x=b, executando a fatoração com pivotamento parcial e resolvendo as etapas PA=LU, Ly=Pb, Ux=y.]
Passo 2
Breve explicação do método (sem entrar em cálculos ainda):
Com pivotamento parcial escolhemos, em cada passo, o maior elemento absoluto na coluna corrente (entre as linhas ainda a eliminar) e permutamos as linhas se necessário. Isso evita divide-by-small e melhora estabilidade.
Procuramos matrizes P (permuta), L (triangular inferior com 1s na diagonal) e U (triangular superior) tal que
P A = L U.
Depois, para resolver A x=b fazemos P A x = P b, ou seja L U x = P b. Primeiro resolvemos L y = P b por substituição direta (forward substitution) para obter y, depois resolvemos U x = y por substituição regressiva (back substitution).
Agora começamos os cálculos passo a passo aplicando o algoritmo.
Passo 3
Primeira coluna — escolha do pivô (pivotamento parcial):
Olhamos a primeira coluna de A: valores |2|,|3|,|1|. O maior em valor absoluto é |3|, que está na linha 2. Então permutamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação correspondente é
Agora realizamos eliminação gaussiana na matriz P A a partir desta configuração.]
Passo 4
Eliminação na primeira coluna — calcular multiplicadores e zerar abaixo do pivô:
O pivô atual é 3 (entrada (1,1) de P A). Calculamos os multiplicadores para zerar entradas nas linhas 2 e 3 abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{2}{3},\qquad m_{31}=\frac{1}{3}.
Usamos esses m para atualizar as linhas:
Nova linha 2 = linha 2 -m_{21}\times linha 1.
Nova linha 3 = linha 3 -m_{31}\times linha 1.
Cálculos (fazendo conta passo a passo):
Linha 1 (permanece): \,(3,\,-2,\,5).
Os multiplicadores obtidos serão colocados em L (abaixo da diagonal) na ordem correspondente à versão permutada.]
Passo 5
Segunda coluna — escolha do pivô (entre as linhas restantes):
Na segunda coluna (considerando só as linhas 2 e 3) temos os valores em módulo \big|\tfrac{16}{3}\big| e \big|\tfrac{5}{3}\big|. O maior é \big|\tfrac{16}{3}\big| (linha 2), então não é necessária nova permuta. O pivô da etapa é \tfrac{16}{3}.
Calculamos o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
As outras entradas da linha 3 tornam-se zero na coluna 1 e 2 conforme esperado. Assim a matriz triangular superior U resultante (após as eliminações) é
Confirmando o relacionamento final usado: P A = L U. (Se desejar, pode multiplicar L U e verificar que obtém P A; aqui seguimos os passos do algoritmo que garantem isso.)]
Passo 7
Resolver L y = P b (forward substitution):
Temos P b=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Escrevemos as equações de L y = P b: