Resolva os sistemas lineares abaixo por fatoração LU com pivotamento parcial.
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3} & =-1 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3} & =16 \\\ x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3} & =-1,\\[4pt] 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3} & =16,\\[4pt] x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =0, \end{aligned}\right.
usando fatoração LU com pivotamento parcial.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3\\[4pt] 3 & -2 & 5\\[4pt] 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]16\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O objetivo final é encontrar o vetor \,x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\, que satisfaz A x=b, executando a fatoração com pivotamento parcial e resolvendo as etapas PA=LU, Ly=Pb, Ux=y.]

Passo 2

Breve explicação do método (sem entrar em cálculos ainda):
  • Com pivotamento parcial escolhemos, em cada passo, o maior elemento absoluto na coluna corrente (entre as linhas ainda a eliminar) e permutamos as linhas se necessário. Isso evita divide-by-small e melhora estabilidade.
  • Procuramos matrizes P (permuta), L (triangular inferior com 1s na diagonal) e U (triangular superior) tal que
P A = L U.
  • Depois, para resolver A x=b fazemos P A x = P b, ou seja L U x = P b. Primeiro resolvemos L y = P b por substituição direta (forward substitution) para obter y, depois resolvemos U x = y por substituição regressiva (back substitution).
    Agora começamos os cálculos passo a passo aplicando o algoritmo.

Passo 3

Primeira coluna — escolha do pivô (pivotamento parcial):
Olhamos a primeira coluna de A: valores |2|,|3|,|1|. O maior em valor absoluto é |3|, que está na linha 2. Então permutamos a linha 1 com a linha 2. A matriz de permutação correspondente é
P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando P a A e a b (troca linhas 1 e 2), obtemos:
P A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 2 & 4 & -3\\[4pt] 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad P b=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora realizamos eliminação gaussiana na matriz P A a partir desta configuração.]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna — calcular multiplicadores e zerar abaixo do pivô:
O pivô atual é 3 (entrada (1,1) de P A). Calculamos os multiplicadores para zerar entradas nas linhas 2 e 3 abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{2}{3},\qquad m_{31}=\frac{1}{3}.
Usamos esses m para atualizar as linhas:
  • Nova linha 2 = linha 2 - m_{21} \times linha 1.
  • Nova linha 3 = linha 3 - m_{31} \times linha 1.
Cálculos (fazendo conta passo a passo):
Linha 1 (permanece): \,(3,\,-2,\,5).
Linha 2: (2,\,4,\,-3) - \frac{2}{3}(3,\,-2,\,5)
= (2-2,\;4 + \tfrac{4}{3},\;-3 - \tfrac{10}{3}) = \Big(0,\;\tfrac{16}{3},\;-\tfrac{19}{3}\Big).
Linha 3: (1,\,1,\,-2) - \frac{1}{3}(3,\,-2,\,5)
= (1-1,\;1 + \tfrac{2}{3},\;-2 - \tfrac{5}{3}) = \Big(0,\;\tfrac{5}{3},\;-\tfrac{11}{3}\Big).
Após este passo a matriz transformada (forma escalonada parcial) é
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{16}{3} & -\tfrac{19}{3}\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{11}{3} \end{pmatrix}.
Os multiplicadores obtidos serão colocados em L (abaixo da diagonal) na ordem correspondente à versão permutada.]

Passo 5

Segunda coluna — escolha do pivô (entre as linhas restantes):
Na segunda coluna (considerando só as linhas 2 e 3) temos os valores em módulo \big|\tfrac{16}{3}\big| e \big|\tfrac{5}{3}\big|. O maior é \big|\tfrac{16}{3}\big| (linha 2), então não é necessária nova permuta. O pivô da etapa é \tfrac{16}{3}.
Calculamos o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
m_{32}=\frac{\tfrac{5}{3}}{\tfrac{16}{3}}=\frac{5}{16}.
Eliminamos:
Linha 3 nova = linha 3 - m_{32} \times linha 2.
Cálculo da terceira componente (apenas a parte não-nula relevante):
-\tfrac{11}{3} - \frac{5}{16}\Big(-\tfrac{19}{3}\Big) = -\tfrac{11}{3} + \tfrac{95}{48} = -\tfrac{176}{48} + \tfrac{95}{48} = -\tfrac{81}{48} = -\tfrac{27}{16}.
As outras entradas da linha 3 tornam-se zero na coluna 1 e 2 conforme esperado. Assim a matriz triangular superior U resultante (após as eliminações) é
U=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{16}{3} & -\tfrac{19}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{27}{16} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Construção da matriz L (unitária na diagonal) com os multiplicadores usados, na ordem em que foram aplicados após a permutação inicial:
  • m_{21}=\tfrac{2}{3} colocou-se em L_{21}.
  • m_{31}=\tfrac{1}{3} em L_{31}.
  • m_{32}=\tfrac{5}{16} em L_{32}.
Logo
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{2}{3} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{16} & 1 \end{pmatrix}.
Confirmando o relacionamento final usado: P A = L U. (Se desejar, pode multiplicar L U e verificar que obtém P A; aqui seguimos os passos do algoritmo que garantem isso.)]

Passo 7

Resolver L y = P b (forward substitution):
Temos P b=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Escrevemos as equações de L y = P b:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{2}{3} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{16} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]y_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Resolvendo passo a passo:
  • Primeira equação: 1\cdot y_{1}=16 y_{1}=16.
  • Segunda equação: \tfrac{2}{3}y_{1}+1\cdot y_{2}=-1. Substituindo y_{1}:
y_{2} = -1 - \tfrac{2}{3}\cdot 16 = -1 - \tfrac{32}{3} = -\tfrac{35}{3}.
  • Terceira equação: \tfrac{1}{3}y_{1} + \tfrac{5}{16}y_{2} + y_{3} = 0. Substituindo y_{1} e y_{2}:
y_{3} = -\tfrac{1}{3}\cdot 16 - \tfrac{5}{16}\cdot\left(-\tfrac{35}{3}\right) = -\tfrac{16}{3} + \tfrac{175}{48} = -\tfrac{81}{48} = -\tfrac{27}{16}.
Assim
y=\begin{pmatrix}16\\[4pt]-\tfrac{35}{3}\\[4pt]-\tfrac{27}{16}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver U x = y (back substitution):
Escrevemos o sistema triangular superior
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{16}{3} & -\tfrac{19}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{27}{16} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\[4pt]-\tfrac{35}{3}\\[4pt]-\tfrac{27}{16}\end{pmatrix}.
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da terceira equação: -\tfrac{27}{16} x_{3} = -\tfrac{27}{16} x_{3}=1.
  • Segunda equação: \tfrac{16}{3} x_{2} - \tfrac{19}{3} x_{3} = -\tfrac{35}{3}. Multiplicando por 3:
16 x_{2} - 19\cdot x_{3} = -35.
Substituindo x_{3}=1:
16 x_{2} - 19 = -35 \quad\Rightarrow\quad 16 x_{2} = -16 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -1.
  • Primeira equação: 3 x_{1} - 2 x_{2} + 5 x_{3} = 16. Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=1:
3 x_{1} -2(-1) + 5(1) = 16 \quad\Rightarrow\quad 3 x_{1} + 2 + 5 = 16
3 x_{1} + 7 = 16 \quad\Rightarrow\quad 3 x_{1} = 9 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = 3.
Portanto a solução é x_{1}=3, x_{2}=-1, x_{3}=1.]

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=-1
x_{3}=1

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