Faça a fatoração LU com pivoteamento parcial das seguintes matrizes:
B=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 0 & 3 \\\\ 1 & -2 & 1 & -4 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração LU com pivoteamento parcial da matriz B. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 1 & -2 & 1 & -4\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar uma matriz de permutação P, uma matriz triangular inferior L com diagonal de uns e uma matriz triangular superior U tais que
P B = L U.]

Passo 2

Vou usar o procedimento padrão de eliminação gaussiana com pivoteamento parcial (escolher, em cada coluna, o elemento de maior valor absoluto dentre as linhas ainda não eliminadas). Cada passo consiste em:
\text{multiplicador } m_{i j} = \frac{a_{i j}}{a_{j j}}
para eliminar o elemento \,a_{i j} (com i>j). Esses multiplicadores são colocados em L nas posições L_{i j}. Se for necessária uma troca de linhas (pivoteamento), atualizamos a matriz de permutação P e também trocamos, nas colunas já processadas, as linhas correspondentes de L (isso é importante para manter P B = L U). Vou fazer cada operação explicitamente, com as contas de frações mastigadas.

Passo 3

Estado inicial (copiando B):
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 1 & -2 & 1 & -4\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Coluna 1: escolhemos o maior valor absoluto entre as entradas (2,\,1,\,-1,\,0). O maior é |2| na linha 1, então NÃO há troca nesta etapa.
Calculamos os multiplicadores da coluna 1:
m_{21}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2},\qquad m_{31}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2},\qquad m_{41}=\frac{0}{2}=0.
Aplicamos as eliminações (linha i \leftarrow linha i - m_{i1}\times linha 1):
  • Linha 2: [1,-2,1,-4] - \tfrac{1}{2}[2,-1,0,3] = [0,-\tfrac{3}{2},1,-\tfrac{11}{2}].
  • Linha 3: [-1,0,0,3] - (-\tfrac{1}{2})[2,-1,0,3] = [-1,0,0,3] + \tfrac{1}{2}[2,-1,0,3] = [0,-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{9}{2}].
  • Linha 4: permanece [0,0,-1,1].
Matriz após a primeira etapa:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{9}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
E os multiplicadores já colocados em L (parcialmente) são L_{21}=\tfrac{1}{2},\,L_{31}=-\tfrac{1}{2},\,L_{41}=0.]

Passo 4

Coluna 2 (agora olhando as linhas 2 a 4): entradas na coluna 2 são -\tfrac{3}{2},\; -\tfrac{1}{2},\; 0. O maior em valor absoluto é |-\tfrac{3}{2}|=\tfrac{3}{2} na linha 2, então NÃO há troca nesta etapa.
Calculamos os multiplicadores da coluna 2:
m_{32}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{2}}=\frac{1}{3},\qquad m_{42}=\frac{0}{-\tfrac{3}{2}}=0.
Eliminamos na segunda coluna:
  • Linha 3: [0,-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{9}{2}] - \tfrac{1}{3}[0,-\tfrac{3}{2},1,-\tfrac{11}{2}] = [0,0,-\tfrac{1}{3},\tfrac{19}{3}].
  • Linha 4: permanece [0,0,-1,1].
Matriz após a segunda etapa:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{19}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
E acumulamos L_{32}=\tfrac{1}{3},\,L_{42}=0 (ainda considerando a ordem atual das linhas).]

Passo 5

Coluna 3 (linhas 3 e 4): entradas -\tfrac{1}{3} e -1. O maior em valor absoluto é |-1|=1 na linha 4. Portanto precisamos TROCAR a linha 3 com a linha 4 (pivoteamento parcial). Isso implica que atualizamos a matriz de permutação P para representar essa troca e que, antes de aplicar a eliminação na coluna 3, trocamos também, nas colunas já processadas (colunas 1 e 2), as linhas 3 e 4 de L — essa troca mantém a consistência de P B = L U.
Antes da troca, os multiplicadores nas colunas 1 e 2 (posições de L) eram, por linhas:
linha 3: L_{31}=-\tfrac{1}{2},\; L_{32}=\tfrac{1}{3};
linha 4: L_{41}=0,\; L_{42}=0.
Ao trocar linha 3 com linha 4, esses valores trocam de lugar (apenas nas colunas já fixadas). Após a troca, as linhas da matriz (para eliminar na coluna 3) ficam:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{19}{3} \end{pmatrix}.
A permutação realizada é a troca das linhas 3 e 4; isso corresponde à matriz de permutação
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois P aplicada a B coloca a linha 4 de B na posição 3 e a linha 3 de B na posição 4.
Agora calculamos o multiplicador da coluna 3 (para a linha 4, após a troca):
m_{43}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{-1}=\frac{1}{3}.
Eliminamos:
  • Linha 4: [0,0,-\tfrac{1}{3},\tfrac{19}{3}] - \tfrac{1}{3}[0,0,-1,1] = [0,0,0,6].
Matriz triangular superior U obtida ao final das eliminações:
U=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora vamos escrever a matriz L completa. Lembrete: L tem 1s na diagonal e, abaixo da diagonal, tem os multiplicadores usados em cada etapa, já com as trocas de linha que fizemos nas colunas anteriores.
Recapitulando os multiplicadores (na ordem final das linhas, após a única troca entre as linhas 3 e 4):
  • Coluna 1: L_{21}=\tfrac{1}{2},\; L_{31}=0,\; L_{41}=-\tfrac{1}{2}. (Observe que L_{31} e L_{41} foram trocados quando trocamos as linhas 3 e 4.)
  • Coluna 2: L_{32}=0,\; L_{42}=\tfrac{1}{3}. (Também trocados conforme a permutação.)
  • Coluna 3: L_{43}=\tfrac{1}{3}.
Portanto a matriz L final é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}.
Podemos, se quiser, checar mentalmente que L U é igual a P B (multiplicando as linhas de U com os coeficientes de L), mas já montamos os multiplicadores passo a passo e fizemos as trocas quando necessário, então a decomposição está consistente.]

Resposta

P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -\tfrac{3}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}]

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