Resolva o sistema abaixo pelo método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial, utilizando arredondamento para três casas decimais na solução obtida.
O enunciado fornece o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede a solução obtida pelo método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial (depois arredondada para três casas decimais). As informações dadas são:
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial e, ao final, apresentar a solução arredondada para três casas decimais.]
Passo 2
Breve explicação do método (para você aplicar passo a passo na prova):
Organizo a matriz aumentada \left[A\,|\,\mathbf{b}\right] com os coeficientes e o termo independente.
Em cada coluna j (para j=1,2,\dots) escolho como pivô, entre as linhas ainda não eliminadas, o elemento de maior valor absoluto (pivotamento parcial). Se for necessário, troco a linha atual com a linha cujo elemento tem maior valor absoluto.
Para zerar os elementos abaixo do pivô em cada coluna, uso multiplicadores. Se o pivô está em a_{kk} e quero eliminar a_{ik} (com i>k), o multiplicador é
Repito até obter uma matriz triangular superior e então faço substituição regressiva (back substitution) para achar x_{3},x_{2},x_{1}.
Para evitar acumular erro, é comum manter mais casas decimais nos cálculos internos e só arredondar a resposta final; eu farei isso e depois apresento a solução com três casas decimais.
Passo 3
Construo a matriz aumentada inicial e escolho o pivot na primeira coluna (maior valor absoluto entre as linhas 1 a 3):
Na coluna 1 os valores absolutos são 0{,}202,\;0{,}682,\;1{,}034; o maior é 1{,}034 (linha 3). Faço a troca de linha 1\leftrightarrow 3 (pivotamento parcial):
(Expliquei o procedimento para obter cada entrada; se estiver na prova, faça a multiplicação linha por linha como mostrado.)]
Passo 4
Agora escolho o pivô na coluna 2 entre as linhas 2 e 3: comparo |-1{,}698356|\approx 1{,}698356 com |1{,}616663614|\approx 1{,}616664. O maior em módulo é 1{,}698356 (linha 2), portanto não troco linhas.
O pivô é a_{22}=-1{,}698356. Calculo o multiplicador para zerar a entrada (3,2):