Resolva o sistema abaixo pelo método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial, utilizando arredondamento para três casas decimais na solução obtida.
\left\{\begin{array}{rrrr} 0.202 x_{1}+1.237 x_{2}-3.584 x_{3} & = & 2.117 \\ 0.682 x_{1}-2.981 x_{2}+0.873 x_{3} & = & -1.304 \\ -1.034 x_{1}+1.944 x_{2}-3.159 x_{3} & = & 0.993 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede a solução obtida pelo método da eliminação de Gauss com pivotamento parcial (depois arredondada para três casas decimais). As informações dadas são:
\begin{cases} 0{,}202\,x_{1}+1{,}237\,x_{2}-3{,}584\,x_{3}=2{,}117,\\[4pt] 0{,}682\,x_{1}-2{,}981\,x_{2}+0{,}873\,x_{3}=-1{,}304,\\[4pt] -1{,}034\,x_{1}+1{,}944\,x_{2}-3{,}159\,x_{3}=0{,}993. \end{cases}
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial e, ao final, apresentar a solução arredondada para três casas decimais.]

Passo 2

Breve explicação do método (para você aplicar passo a passo na prova):
  • Organizo a matriz aumentada \left[A\,|\,\mathbf{b}\right] com os coeficientes e o termo independente.
  • Em cada coluna j (para j=1,2,\dots) escolho como pivô, entre as linhas ainda não eliminadas, o elemento de maior valor absoluto (pivotamento parcial). Se for necessário, troco a linha atual com a linha cujo elemento tem maior valor absoluto.
  • Para zerar os elementos abaixo do pivô em cada coluna, uso multiplicadores. Se o pivô está em a_{kk} e quero eliminar a_{ik} (com i>k), o multiplicador é
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Então atualizo a linha i por
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot \text{linha}_k,
de modo que o novo a_{ik}=0.
  • Repito até obter uma matriz triangular superior e então faço substituição regressiva (back substitution) para achar x_{3},x_{2},x_{1}.
  • Para evitar acumular erro, é comum manter mais casas decimais nos cálculos internos e só arredondar a resposta final; eu farei isso e depois apresento a solução com três casas decimais.

Passo 3

Construo a matriz aumentada inicial e escolho o pivot na primeira coluna (maior valor absoluto entre as linhas 1 a 3):
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 0{,}202 & 1{,}237 & -3{,}584 & 2{,}117\\[4pt] 0{,}682 & -2{,}981 & 0{,}873 & -1{,}304\\[4pt] -1{,}034 & 1{,}944 & -3{,}159 & 0{,}993 \end{array}\right]
Na coluna 1 os valores absolutos são 0{,}202,\;0{,}682,\;1{,}034; o maior é 1{,}034 (linha 3). Faço a troca de linha 1\leftrightarrow 3 (pivotamento parcial):
\left[\begin{array}{rrr|r} -1{,}034 & 1{,}944 & -3{,}159 & 0{,}993\\[4pt] 0{,}682 & -2{,}981 & 0{,}873 & -1{,}304\\[4pt] 0{,}202 & 1{,}237 & -3{,}584 & 2{,}117 \end{array}\right]
Agora calculo os multiplicadores para zerar os elementos abaixo do pivô na coluna 1:
m_{21}=\frac{0{,}682}{-1{,}034}\approx -0{,}659808192,\qquad m_{31}=\frac{0{,}202}{-1{,}034}\approx -0{,}195299807.
Atualizo as linhas 2 e 3:
  • Linha 2 := Linha 2 - m_{21} \timesLinha 1,
  • Linha 3 := Linha 3 - m_{31} \timesLinha 1.
Fazendo as contas (mantendo muitas casas decimais nos internos) obtenho a matriz após a primeira etapa de eliminação:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1{,}034000000 & 1{,}944000000 & -3{,}159000000 & 0{,}993000000\\[4pt] 0 & -1{,}698356000 & -1{,}211334076 & -0{,}648810465\\[4pt] 0 & 1{,}616663614 & -4{,}200952090 & 2{,}310932707 \end{array}\right].
(Expliquei o procedimento para obter cada entrada; se estiver na prova, faça a multiplicação linha por linha como mostrado.)]

Passo 4

Agora escolho o pivô na coluna 2 entre as linhas 2 e 3: comparo |-1{,}698356|\approx 1{,}698356 com |1{,}616663614|\approx 1{,}616664. O maior em módulo é 1{,}698356 (linha 2), portanto não troco linhas.
O pivô é a_{22}=-1{,}698356. Calculo o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
m_{32}=\frac{1{,}616663614}{-1{,}698356}\approx -0{,}951899139.
Atualizo a linha 3 por Linha 3 := Linha 3 - m_{32} \timesLinha 2. Após essa operação a matriz fica triangular superior:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1{,}034000000 & 1{,}944000000 & -3{,}159000000 & 0{,}993000000\\[4pt] 0 & -1{,}698356000 & -1{,}211334076 & -0{,}648810465\\[4pt] 0 & 0 & -5{,}354019955 & 1{,}693331527 \end{array}\right].
Agora temos um sistema triangular superior que pode ser resolvido por substituição regressiva.]

Passo 5

Substituição regressiva (calculei com precisão interna e só arredondarei no final):
  1. Da terceira equação (linha 3):
-5{,}354019955\,x_{3}=1{,}693331527
x_{3}=\frac{1{,}693331527}{-5{,}354019955}\approx -0{,}316346286.
  1. Da segunda equação (linha 2):
-1{,}698356\,x_{2}-1{,}211334076\,x_{3}=-0{,}648810465.
Isolando x_{2}:
-1{,}698356\,x_{2}=-0{,}648810465+1{,}211334076\,x_{3}.
Substituindo x_{3}\approx -0{,}316346286 e calculando:
x_{2}\approx \frac{-0{,}648810465 + 1{,}211334076\cdot(-0{,}316346286)}{-1{,}698356} \approx 0{,}607649281.
  1. Da primeira equação (linha 1):
-1{,}034\,x_{1}+1{,}944\,x_{2}-3{,}159\,x_{3}=0{,}993.
Isolando x_{1}:
-1{,}034\,x_{1}=0{,}993-1{,}944\,x_{2}+3{,}159\,x_{3}.
Substituindo x_{2}\approx 0{,}607649281 e x_{3}\approx -0{,}316346286:
x_{1}\approx \frac{0{,}993-1{,}944\cdot 0{,}607649281+3{,}159\cdot(-0{,}316346286)}{-1{,}034} \approx 1{,}148605141.
Agora faço o arredondamento final pedido: arredondo cada componente para três casas decimais.

Resposta

x_{1}=1{,}149
x_{2}=0{,}608
x_{3}=-0{,}316

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