Faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
onde
é a função degrau unitário (Heaviside). O conteúdo envolve reconhecimento da ação do degrau e, em seguida, o esboço de um cosseno deslocado.
Passo 2
Lembrando a definição usual do degrau unitário:
Logo, para
x<pi temos
x-pi<0 e então
Para
x>=pi temos
x-pi>=0 e
Passo 3
Introduzimos a mudança de variável
de modo que a partir de
x=pi o gráfico segue
e para
t<0 (isto é,
x<pi ) vale
f=0 .
Passo 4
Analisando
cos(2t) :
- Amplitude igual a
.1 - Período
satisfazT , logo2T=2pi .T=pi - Em
(isto é,t=0 ) temosx=pi .cos(0)=1 - Zeros em
2t=tfracpi2+kpi Rightarrow .t=tfracpi4+ktfracpi2 - Mínimos em
2t=pi Rightarrow (t=tfracpi2 ).f=-1
Convertendo de volta para
x :
- Máximo inicial em
comx=pi .f(pi)=1 - Zeros em
x = pi + pi4 + kpi2, k=0,1,2,dots - Primeiro mínimo em
comx=pi+tfracpi2 .f=-1 - Ciclo completo de
empi .[pi,pi+pi]=[pi,2pi]
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Para
,x<pi (reta no eixof(x)=0 ).x - Em
, salta parax=pi .f(pi)=1 - A partir daí oscila como
de períodocos :pi - Cai até zero em
,x=pi+tfracpi4 - Atinge
em-1 ,x=pi+tfracpi2 - Volta a zero em
,x=pi+tfrac3pi4 - Retorna a
em+1 , e assim por diante.x=2pi
- Cai até zero em
Resposta
O gráfico de
f é a função nula até
x=pi , e para
x>=pi é o cosseno de argumento
2(x-pi) , com salto em
(pi,1) e oscilações de período
pi .