Faça o gráfico de f(x)=u(x-pi) cos 2(x-pi).

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=u(x-pi),cosl(2(x-pi)r),
onde u é a função degrau unitário (Heaviside). O conteúdo envolve reconhecimento da ação do degrau e, em seguida, o esboço de um cosseno deslocado.

Passo 2

Lembrando a definição usual do degrau unitário:
u(t)= 0, & t<0, 1, & t>=0
Logo, para x<pi temos x-pi<0 e então
f(x)=0se x<pi
Para x>=pi temos x-pi>=0 e
f(x)=cosl(2(x-pi)r)se x>=pi

Passo 3

Introduzimos a mudança de variável
t = x-pi,
de modo que a partir de x=pi o gráfico segue
f(pi+t)=cos(2t)para t>=0,
e para t<0 (isto é, x<pi) vale f=0.

Passo 4

Analisando cos(2t):
  • Amplitude igual a 1.
  • Período T satisfaz 2T=2pi, logo T=pi.
  • Em t=0 (isto é, x=pi) temos cos(0)=1.
  • Zeros em 2t=tfracpi2+kpi Rightarrow t=tfracpi4+ktfracpi2.
  • Mínimos em 2t=pi Rightarrow t=tfracpi2 ( f=-1).
Convertendo de volta para x:
  • Máximo inicial em x=pi com f(pi)=1.
  • Zeros em x = pi + pi4 + kpi2, k=0,1,2,dots
  • Primeiro mínimo em x=pi+tfracpi2 com f=-1.
  • Ciclo completo de pi em [pi,pi+pi]=[pi,2pi].

Passo 5

Esboço do gráfico:
  1. Para x<pi, f(x)=0 (reta no eixo x).
  2. Em x=pi, salta para f(pi)=1.
  3. A partir daí oscila como cos de período pi:
    • Cai até zero em x=pi+tfracpi4,
    • Atinge -1 em x=pi+tfracpi2,
    • Volta a zero em x=pi+tfrac3pi4,
    • Retorna a +1 em x=2pi, e assim por diante.

Resposta

O gráfico de f é a função nula até x=pi, e para x>=pi é o cosseno de argumento 2(x-pi), com salto em (pi,1) e oscilações de período pi.

Exercícios relacionados