Utilize convoluções para determinar as transformadas inversas de Laplace da função dada.
9s^2(s^2+9)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
9s^2l(s^2+9r)
e orienta usar convoluções. O conteúdo principal é a propriedade
L^-1F(s),G(s) = (f*g)(t) = integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau,
onde f=L^-1F e g=L^-1G.

Passo 2

Separamos
F(s)=9s^2, G(s)=1s^2+9
Então
f(t)=L^-1l9s^2r =9,t,
e, como Lsin(3t)=3/(s^2+9), temos
g(t)=L^-1l1s^2+9r =13sin(3t)

Passo 3

Pela convolução,
h(t)=(f*g)(t) =integral0^t9,tau;13,sinl(3(t-tau)r),dtau =3integral0^ttau,sinl(3(t-tau)r),dtau

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u=t-tau, o que leva a
integral0^ttau,sinl(3(t-tau)r),dtau =integral0^t(t-u),sin(3u),du
Então
I=integral0^t(t-u)sin(3u),du =t!integral0^tsin(3u),du -integral0^tusin(3u),du
Calculamos separadamente:
integral0^tsin(3u),du =-13l(cos(3t)-1r) =13l(1-cos(3t)r),
e por partes em integral0^tusin(3u),du (com A=u, dv=sin(3u)du)
integral0^tusin(3u),du =-t3cos(3t) +19sin(3t)
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I =tcdot1-cos(3t)3 -l(-t3cos(3t)+19sin(3t)r) =t3-19sin(3t)
Multiplicando por 3:
h(t) =3I =t-tfrac13sin(3t)

Resposta

L^-1l9s^2(s^2+9)r =t-13sin(3t)

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