Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais U e V são isomorfos, justificando a resposta.
(b) U=M2 times 3(R), V=p in mathscrP4(R) ; p^prime(t)=0, forall t in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
U=M2times3(R) e
V=lpinmathscrP4(R)mid p'(t)=0, forall tinRr
são isomorfos. Como são espaços de dimensão finita sobre R, basta comparar suas dimensões: são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão.

Passo 2

Calcular dim(U). Cada matriz em U tem 2 linhas e 3 colunas, logo há 6 entradas livres. Assim
dim(U)=2times3=6

Passo 3

Caracterizar V. A condição p'(t)=0 para todo t implica que p é constante, isto é,
V=,p(t)=cmid cinR
Um gerador natural é a função 1, então
dim(V)=1

Passo 4

Comparar dimensões:
dim(U)=6neq1=dim(V)
Como não são iguais, não existe isomorfismo entre U e V.

Resposta

U e V não são isomorfos, pois dim(U)=6 e dim(V)=1.

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