Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais U e V são isomorfos, justificando a resposta.
(c) U=R^3, V=A in M2(R) ; A^t=A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
U = R^3
e
V = Ain M2(R) mid A^t=A
são isomorfos. O conteúdo necessário é definição de isomorfismo (aplicação linear bijetora) e o teorema que diz que dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.

Passo 2

Calculamos a dimensão de U. Como U=R^3 é o espaço das tuplas (x,y,z), temos
dim(U)=3

Passo 3

Agora determinamos a dimensão de V. Todo Ain V é da forma
A=a & b[6pt] b & c,
onde a,b,cinR. Os parâmetros independentes são a, b e c, logo
dim(V)=3 ]

Passo 4

Como dim(U)=dim(V)=3 e ambos são espaços vetoriais sobre R de dimensão finita, pelo teorema de isomorfismo de espaços de dimensão finita existe um isomorfismo linear entre eles. Por exemplo, a aplicação
fcolon R^3 to V, fl((x,y,z)r) = x & y[4pt] y & z
é linear, injetora e sobrejetora, portanto um isomorfismo.]

Resposta

Sim, U e V são isomorfos.

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