Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais
e
são isomorfos, justificando a resposta.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
e
são isomorfos. O conteúdo necessário é definição de isomorfismo (aplicação linear bijetora) e o teorema que diz que dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, têm a mesma dimensão.
Passo 2
Calculamos a dimensão de
. Como
é o espaço das tuplas
, temos
Passo 3
Agora determinamos a dimensão de
. Todo
é da forma
onde
. Os parâmetros independentes são
,
e
, logo
Passo 4
Como
e ambos são espaços vetoriais sobre
de dimensão finita, pelo teorema de isomorfismo de espaços de dimensão finita existe um isomorfismo linear entre eles. Por exemplo, a aplicação
é linear, injetora e sobrejetora, portanto um isomorfismo.]
Resposta
Sim,
e
são isomorfos.