Faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de
indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
Este é o caso de uma curva cuja distância ao polo é constante. Para tratá-la, vamos usar a relação de conversão para coordenadas cartesianas:
Passo 2
(i) Pontos inicial e final
Para temos
, então
Para
Logo o ponto inicial é
.
Para também
, daí
Para
de modo que o ponto final é de novo
.
Passo 3
(ii) A curva é fechada
Como o ponto inicial coincide com o ponto final, a curva é fechada.
Como o ponto inicial coincide com o ponto final, a curva é fechada.
Passo 4
(iii) Sentido de varredura
À medida que cresce de
a
, o feixe de raios gira no sentido positivo (anti-horário).
À medida que
Passo 5
(iv) Autointerseções
A circunferência de raio não se cruza em nenhum outro ponto além de
e
. Não há autointerseções propriamente ditas.
A circunferência de raio
Passo 6
(v) Número de regiões limitadas
Pela teoria de curvas simples fechadas, a circunferência divide o plano em duas regiões: uma interior limitada e outra exterior ilimitada. Portanto há exatamente região limitada.
Pela teoria de curvas simples fechadas, a circunferência divide o plano em duas regiões: uma interior limitada e outra exterior ilimitada. Portanto há exatamente
Resposta
(i) Ponto inicial
e ponto final
.
(ii) A curva é fechada.
(iii) Varre no sentido anti-horário.
(iv) Não possui autointerseções.
(v) Determina região limitada.
(ii) A curva é fechada.
(iii) Varre no sentido anti-horário.
(iv) Não possui autointerseções.
(v) Determina