Faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de theta indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
r=2, theta in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=2,;thetain[0,2pi]
Este é o caso de uma curva cuja distância ao polo é constante. Para tratá-la, vamos usar a relação de conversão para coordenadas cartesianas:
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

(i) Pontos inicial e final
Para theta=0 temos r=2, então
x = 2cos0 = 2, y = 2sin0 = 0
Logo o ponto inicial é (2,0).
Para theta=2pi também r=2, daí
x = 2cos(2pi) = 2, y = 2sin(2pi) = 0,
de modo que o ponto final é de novo (2,0).

Passo 3

(ii) A curva é fechada
Como o ponto inicial coincide com o ponto final, a curva é fechada.

Passo 4

(iii) Sentido de varredura
À medida que theta cresce de 0 a 2pi, o feixe de raios gira no sentido positivo (anti-horário).

Passo 5

(iv) Autointerseções
A circunferência de raio 2 não se cruza em nenhum outro ponto além de theta=0 e theta=2pi. Não há autointerseções propriamente ditas.

Passo 6

(v) Número de regiões limitadas
Pela teoria de curvas simples fechadas, a circunferência divide o plano em duas regiões: uma interior limitada e outra exterior ilimitada. Portanto há exatamente 1 região limitada.

Resposta

(i) Ponto inicial (2,0) e ponto final (2,0).
(ii) A curva é fechada.
(iii) Varre no sentido anti-horário.
(iv) Não possui autointerseções.
(v) Determina 1 região limitada.

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