Seja f(x, y)=y^3+3 x^2 y-6 x^2-6 y^2+2.
Determine os pontos críticos da função f e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = y^3 + 3x^2y - 6x^2 - 6y^2 + 2 . O objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e ver que tipo de pontos eles são (tipo máximo, mínimo ou ponto de sela). Para isso, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
Calcular a derivada parcial em relação a x :
fx = partial fpartial x = partialpartial x(y^3 + 3x^2y - 6x^2 - 6y^2 + 2) = 6xy - 12x
Calcular a derivada parcial em relação a y :
fy = partial fpartial y = partialpartial y(y^3 + 3x^2y - 6x^2 - 6y^2 + 2) = 3y^2 + 3x^2 - 12y

Passo 3

Os pontos críticos são onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema:
6xy - 12x = 0 3y^2 + 3x^2 - 12y = 0
Primeiro, fatoramos a primeira equação:
6x(y - 2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. y = 2
Vamos analisar cada caso.
Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na segunda equação:
3y^2 + 0 - 12y = 0 Rightarrow 3y^2 - 12y = 0 Rightarrow 3y(y - 4) = 0
Assim, y = 0 ou y = 4 .
Portanto, temos os pontos críticos:
  • (0, 0)
  • (0, 4)
Caso 2: y = 2
Substituindo y = 2 na segunda equação:
3(2)^2 + 3x^2 - 12(2) = 0 Rightarrow 12 + 3x^2 - 24 = 0 Rightarrow 3x^2 - 12 = 0 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Portanto, temos mais dois pontos críticos:
  • (2, 2)
  • (-2, 2)

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos das derivadas de segunda ordem.
Calculando fxx , fyy e fxy :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6y - 12
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y - 12
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6x
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.
  1. Ponto (0, 0) :
fxx = 6(0) - 12 = -12
fyy = 6(0) - 12 = -12
fxy = 6(0) = 0
D = (-12)(-12) - 0^2 = 144 > 0
Como D > 0 e fxx < 0 , é um ponto de máximo relativo.
  1. Ponto (0, 4) :
fxx = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12
fyy = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12
fxy = 6(0) = 0
D = (12)(12) - 0^2 = 144 > 0
Como D > 0 e fxx > 0 , é um ponto de mínimo relativo.
  1. Ponto (2, 2) :
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fyy = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fxy = 6(2) = 12
D = (0)(0) - (12)^2 = -144 < 0
Como D < 0 , é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2, 2) :
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fyy = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
fxy = 6(-2) = -12
D = (0)(0) - (-12)^2 = -144 < 0
Como D < 0 , é também um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • (0, 0) que é um ponto de máximo relativo;
  • (0, 4) que é um ponto de mínimo relativo;
  • (2, 2) e (-2, 2) que são pontos de sela.

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