Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange:
para determinar os valores máximo e mínimo da função z=x y sujeita à restrição 2 x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função z = x cdot y com a restrição 2x^2 + y^2 = 16 . Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar ( z ) com a restrição, usando um multiplicador lambda . A função de Lagrange fica assim:
L(x, y, lambda) = x cdot y + lambda (16 - 2x^2 - y^2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a x , y e lambda e igualá-las a zero. Essas derivadas nos darão um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a x :
partial Lpartial x = y - 4lambda x = 0 Rightarrow y = 4lambda x

Passo 4

Segundo, a derivada em relação a y :
partial Lpartial y = x - 2lambda y = 0 Rightarrow x = 2lambda y

Passo 5

Terceiro, a derivada em relação a lambda :
partial Lpartial lambda = 16 - 2x^2 - y^2 = 0

Passo 6

Agora, vamos usar as duas primeiras equações para relacionar x e y . Substituindo y = 4lambda x na equação x = 2lambda y :
x = 2lambda (4lambda x) Rightarrow x = 8lambda^2 x
Para que isso seja verdade (com x neq 0 ), devemos ter:
8lambda^2 = 1 Rightarrow lambda^2 = 18 Rightarrow lambda = pm 12raiz2

Passo 7

Com os valores de lambda , podemos encontrar y em termos de x :
y = 4lambda x = 4 ( pm 12raiz2 ) x = pm 2raiz2 x = pm raiz2 x

Passo 8

Agora, substituímos y = pm raiz2 x na restrição 2x^2 + y^2 = 16 :
2x^2 + (raiz2 x)^2 = 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 = 16 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2

Passo 9

Com x = pm 2 , encontramos y :
y = pm raiz2 cdot 2 = pm 2raiz2

Passo 10

Agora, calculamos os valores de z = x cdot y para os pontos encontrados:
  1. Se x = 2 e y = 2raiz2 :
z = 2 cdot 2raiz2 = 4raiz2
  1. Se x = -2 e y = -2raiz2 :
z = (-2) cdot (-2raiz2) = 4raiz2
  1. Se x = 2 e y = -2raiz2 :
z = 2 cdot (-2raiz2) = -4raiz2
  1. Se x = -2 e y = 2raiz2 :
z = (-2) cdot 2raiz2 = -4raiz2

Resposta

Os valores máximo e mínimo de z = x cdot y sujeitos à restrição 2x^2 + y^2 = 16 são:
zmáximo = 4raiz2 e zmínimo = -4raiz2 áí

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