Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange:
para determinar os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
para determinar os valores máximo e mínimo da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição
. Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar (
) com a restrição, usando um multiplicador
. A função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Essas derivadas nos darão um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Passo 4
Segundo, a derivada em relação a
:
Passo 5
Terceiro, a derivada em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos usar as duas primeiras equações para relacionar
e
. Substituindo
na equação
:
Para que isso seja verdade (com
), devemos ter:
Passo 7
Com os valores de
, podemos encontrar
em termos de
:
Passo 8
Agora, substituímos
na restrição
:
Passo 9
Com
, encontramos
:
Passo 10
Agora, calculamos os valores de
para os pontos encontrados:
- Se
e :
- Se
e :
- Se
e :
- Se
e :
Resposta
Os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição
são: