Faça o gráfico de curvas de nível das funções:
f(x)=x_{1}-x_{2}^{2}+2 x_{2}+16, para -4 \leq x_{1} \leq 4 e-4 \leq x_{2} \leq 4

Passo 1

O enunciado pede o gráfico das curvas de nível da função
f(x_1,x_2)=x_{1}-x_{2}^{2}+2x_{2}+16
no retângulo -4\le x_{1}\le4, -4\le x_{2}\le4.
Conteúdo: compreensão de curvas de nível (níveis de contorno) em funções de duas variáveis. Vamos precisar isolar x_{1} em função de x_{2} e de uma constante de nível c.

Passo 2

Para entender a forma das curvas de nível, completamos o quadrado em x_{2}. Note que
-x_{2}^{2}+2x_{2} = -\bigl(x_{2}^{2}-2x_{2}\bigr) = -\bigl((x_{2}-1)^{2}-1\bigr) = - (x_{2}-1)^{2} +1.
Substituindo em f, obtemos
f(x_{1},x_{2}) = x_{1} - (x_{2}-1)^{2} +1 +16 = x_{1} - (x_{2}-1)^{2} +17.

Passo 3

A curva de nível associada a um valor c de f é o conjunto
\{(x_{1},x_{2})\mid f(x_{1},x_{2})=c\}.
Logo, impondo f(x_{1},x_{2})=c, vem
x_{1} - (x_{2}-1)^{2} +17 = c
\Longrightarrow x_{1} = (x_{2}-1)^{2} + (c -17).

Passo 4

A equação
x_{1} = (x_{2}-1)^{2} + (c -17)
é uma família de parábolas no plano (x_{1},x_{2}), cada uma com vértice em \bigl(c-17,\,1\bigr) e abertura para a direita. À medida que c cresce, o vértice desloca-se para valores maiores de x_{1}.

Passo 5

Para desenhar no domínio -4\le x_{2}\le4, escolhemos alguns níveis típicos, por exemplo
c=13,\,15,\,17,\,19,\,21.
Para cada um, traçamos a parábola
x_{1}=(x_{2}-1)^{2}+(c-17),
limitando x_{2} em [-4,4] e cortando em [-4,4] para x_{1}. O conjunto dessas parábolas forma o gráfico de curvas de nível de f.

Resposta

As curvas de nível de f são parábolas horizontais dadas por
x_{1} = (x_{2}-1)^{2} + (c -17),
com vértice em \bigl(c-17,1\bigr) e abertura para a direita, desenhadas para valores de c no intervalo de interesse, todas restritas a -4\le x_{1},x_{2}\le4.

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