Obtenha o vetor gradiente e a matriz hessiana das funções:
f(\mathbf{x})=x_{1}+x_{1} x_{2}-x_{2} x_{3}-x_{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(\mathbf{x}) = x_{1} + x_{1}x_{2} - x_{2}x_{3} - x_{3}
onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}). Queremos encontrar o vetor gradiente \nabla f(\mathbf{x}) e a matriz Hessiana \nabla^{2}f(\mathbf{x}). Para isso, vamos usar definição de derivada parcial: o gradiente é composto pelas derivadas de f em relação a cada variável, e a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais.

Passo 2

Calcular o gradiente
\nabla f(\mathbf{x})=(\partial f/\partial x_{1},\,\partial f/\partial x_{2},\,\partial f/\partial x_{3}).
Primeiro
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = \frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl(x_{1} + x_{1}x_{2} - x_{2}x_{3} - x_{3}\bigr) = 1 + x_{2}.
Depois
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{2}}\bigl(x_{1} + x_{1}x_{2} - x_{2}x_{3} - x_{3}\bigr) = x_{1} - x_{3}.
E por fim
\frac{\partial f}{\partial x_{3}} = \frac{\partial}{\partial x_{3}}\bigl(x_{1} + x_{1}x_{2} - x_{2}x_{3} - x_{3}\bigr) = -\,x_{2} - 1.
Logo,
\boxed{\nabla f(\mathbf{x}) = \bigl(1 + x_{2},\;x_{1} - x_{3},\;-x_{2} - 1\bigr)^{T}}.

Passo 3

Calcular a matriz Hessiana \nabla^{2}f(\mathbf{x}), ou seja, todos os \partial^{2}f/(\partial x_{i}\partial x_{j}). Já temos
\partial f/\partial x_{1}=1+x_{2},
\partial f/\partial x_{2}=x_{1}-x_{3},
\partial f/\partial x_{3}=-x_{2}-1.
Derivando de novo:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} = 0,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = 1,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{3}} = 0,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} = 1,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} = 0,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{3}} = -1,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}\partial x_{1}} = 0,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}\partial x_{2}} = -1,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}} = 0.
Portanto,
\boxed{ \nabla^{2}f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} }.

Resposta

\nabla f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}1 + x_{2}\\[6pt] x_{1} - x_{3}\\[6pt] -\,x_{2} - 1\end{pmatrix},\n \nabla^{2}f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}.]

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