Faça o gráfico de curvas de nível das funções:
f(x)=x_{2} e^{0,5 x_{1}}\, para \(-2 \leq x_{1} \leq 2 e-2 \leq x_{2} \leq 2)

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função
f(x_1,x_2)=x_{2}\,e^{0,5\,x_{1}}
no retângulo
-2 \le x_{1} \le 2, \quad -2 \le x_{2} \le 2.
O conteúdo aqui é plotar isolinhas (contour lines) de uma função de duas variáveis, usando uma grade (meshgrid), avaliando f e chamando uma rotina de contorno.

Passo 2

Discretizamos o domínio em uma malha regular. Por exemplo, escolhemos N=400 pontos em cada direção e definimos vetores
x_{1}=\mathrm{linspace}(-2,2,N),\quad x_{2}=\mathrm{linspace}(-2,2,N)
e então a matriz de pontos com
X_{1},X_{2}=\mathrm{meshgrid}(x_{1},x_{2}).

Passo 3

Calculamos a matriz de valores
F = X_{2}\,\exp\bigl(0.5\,X_{1}\bigr).
Cada entrada de F corresponde ao valor de f num ponto (x_{1},x_{2}).

Passo 4

Escolhemos um conjunto de níveis de contorno, por exemplo 20 níveis uniformemente espaçados entre \min(F) e \max(F):
\mathrm{levels} = \mathrm{linspace}\bigl(\min(F),\,\max(F),\,20\bigr).

Passo 5

Usamos uma biblioteca gráfica (por exemplo, Matplotlib em Python) para desenhar as isolinhas. Configuramos rótulos de eixos e um título.

Passo 6

N =400
x_1 = np.linspace(-2, 2, N)
x_2 = np.linspace(-2, 2, N)
X_1, X_2 = np.meshgrid(x_1, x_2)
F = X_2 \cdot \exp\left(0.5 \cdot X_1\right)
levels = np.linspace(\min(F), \max(F), 20)
plt.contour(X_1, X_2, F, levels=levels, colors=‘black’)
plt.contourf(X_1, X_2, F, levels=levels, cmap=‘viridis’, \alpha=0.7)
plt.colorbar(label=r’ f(x_{1}, x_{2})’)
plt.xlabel(r’ x_{1}’)
plt.ylabel(r’ x_{2}’)
plt.title(r’Curvas de nível de f(x_{1}, x_{2}) = x_{2} e^{0.5 x_{1}}')
plt.axis(‘equal’)
plt.tight_layout()
plt.show()
Basta rodar esse código para visualizar as curvas de nível no retângulo especificado.

Resposta

Segue um exemplo de script em Python que gera o gráfico de curvas de nível de f:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

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