Faça o gráfico de curvas de nível das funções:
f(x)=\left(x_{1}+2\right)^{2}+\left(x_{2}-1\right)^{2}-3\left(2 x_{1}-x_{2}\right), para -3 \leq x_{1} \leq 3 e -3 \leq x_{2} \leq 3

Passo 1

O enunciado pede o gráfico de curvas de nível da função
f(x)=\bigl(x_{1}+2\bigr)^{2}+\bigl(x_{2}-1\bigr)^{2}-3\bigl(2x_{1}-x_{2}\bigr)
no domínio -3\le x_{1}\le3,\,-3\le x_{2}\le3.
Conteúdo: reconhecimento de uma função quadrática em duas variáveis e desenho de contornos (níveis de iso-valor).

Passo 2

Primeiro expandimos f:
f(x) = (x_{1}+2)^{2} + (x_{2}-1)^{2} -6x_{1} +3x_{2} = x_{1}^{2}+4x_{1}+4 + x_{2}^{2}-2x_{2}+1 -6x_{1}+3x_{2}.
Agrupando termos semelhantes:
f(x)=x_{1}^{2}-2x_{1} \;+\; x_{2}^{2}+x_{2}\;+\;5.

Passo 3

Agora completamos quadrados em x_{1} e x_{2}:
x_{1}^{2}-2x_{1}=(x_{1}-1)^{2}-1, \quad x_{2}^{2}+x_{2}=(x_{2}+\tfrac12)^{2}-\tfrac14.
Logo,
f(x) =(x_{1}-1)^{2}-1 \;+\;(x_{2}+\tfrac12)^{2}-\tfrac14 +5 =(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}+\tfrac12)^{2}+\tfrac{15}{4}.

Passo 4

As curvas de nível são dadas por
f(x)=c \quad\Longrightarrow\quad (x_{1}-1)^{2}+(x_{2}+\tfrac12)^{2} =c-\tfrac{15}{4}.
Isto é, círculos de centro \bigl(1,-\tfrac12\bigr) e raio
\displaystyle r=\sqrt{\,c-\tfrac{15}{4}\,}.

Passo 5

Para desenhar no quadrado [-3,3]\times[-3,3], escolhemos alguns valores de c tais que r seja real e suficientemente pequeno para caber no domínio. Por exemplo:
c_{1}=4\implies r_{1}=\sqrt{4-\tfrac{15}{4}}=\tfrac12,
c_{2}=5\implies r_{2}=\sqrt{5-\tfrac{15}{4}}=1,
c_{3}=6\implies r_{3}=\sqrt{6-\tfrac{15}{4}}=\tfrac{3}{2},
c_{4}=8\implies r_{4}=\sqrt{8-\tfrac{15}{4}}= \tfrac{\sqrt{17}}{2}.
Desenha-se, então, quatro circunferências concêntricas centradas em (1,-1/2) com esses raios, limitadas ao quadrado de vértices (-3,-3), (3,-3), (3,3), (-3,3).

Resposta

O gráfico de curvas de nível consiste em círculos concêntricos de centro \bigl(1,-\tfrac12\bigr) e raios
r=\sqrt{\,c-\tfrac{15}{4}\,},
traçados dentro do quadrado -3\le x_{1}\le3,\,-3\le x_{2}\le3. Por exemplo, para c=4,5,6,8 obtemos círculos de raios \tfrac12,1,\tfrac32,\tfrac{\sqrt{17}}2.

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