Informações/observações dadas no enunciado que vamos usar:
As expressões estão definidas para os pontos de interesse (próximo de x=0 e para x\to+\infty).
Não há valores numéricos adicionais a coletar; tudo está explícito nas fórmulas acima.
Passo 2
Primeiro, simplifico a expressão do Limite (A) usando uma identidade trigonométrica conhecida:
1-\cos^{2}x=\sin^{2}x.
Portanto o limite (A) fica
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}x}{e^{2x}-2x-1}.
Isso já deixa a forma mais clara: tanto numerador quanto denominador vão para 0 quando x\to 0, então temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Passo 3
Vou usar expansões em série (desenvolvimentos de Taylor) ao redor de x=0 para entender o comportamento do numerador e do denominador. Explicar um pouco: uma série de Taylor aproxima uma função por uma soma de potências de x quando x é pequeno; é muito útil para limites em 0.
As expansões que vamos usar (válidas para x pequeno) são:
Para \sin x:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
onde O(x^{5}) significa termos de ordem x^{5} ou superiores.
Aqui temos uma indeterminação do tipo \infty/\infty porque \ln(x)\to\infty e e^{x}\to\infty quando x\to\infty. Um método simples e rigoroso para esse caso é a Regra de L’Hôpital.
Passo 7
Aplicando a Regra de L’Hôpital (que permite derivar numerador e denominador quando temos \infty/\infty ou 0/0), derivamos numerador e denominador em relação a x:
Agora avalio \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x e^{x}}. O denominador x e^{x} tende para +\infty porque e^{x} cresce exponencialmente e x cresce polinomialmente; o produto também vai para infinito muito rapidamente. Assim a fração tende a 0: