Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações úteis:
- O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de
a . - A integranda é soma de três partes:
, e . - O domínio do logaritmo é seguro aqui porque
implica .
Passo 2
Aplicando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral), escrevemos
Passo 3
Vou analisar a paridade (par/ímpar) da primeira parcela
Definições rápidas (útil para a prova): uma função
é par se
e ímpar se
. Propriedade importante: se
é ímpar então
.
Agora verifico componentes de
:
- A função
é ímpar, pois . - A função
é par (em ), pois . Logo, composta com , satisfaz
ou seja,
é par.
- A função
verifica
logo
é ímpar.
Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar. Portanto
é ímpar. Como o intervalo é simétrico em torno de zero, pela propriedade das funções ímpares:
(Pequena demonstração da propriedade para a prova: se
é ímpar então
.)
Passo 4
Analiso a segunda parcela
.
A função é ímpar (porque
). Logo, por ser ímpar em intervalo simétrico,
A função
Passo 5
Calculo a terceira parcela
.
Antiderivada de é
. Avaliando nos limites,
Antiderivada de
Passo 6
Somando os resultados das três parcelas:
Portanto a integral pedida vale
.