\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left(\cos (\operatorname{sen} x) \cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)+2 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1/2}^{1/2}\left(\cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+2x+3\right)\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de -\tfrac{1}{2} a \tfrac{1}{2}.
  • A integranda é soma de três partes: \cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right), 2x e 3.
  • O domínio do logaritmo é seguro aqui porque -\tfrac{1}{2}\le x\le \tfrac{1}{2} implica 1\pm x>0.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral), escrevemos
\int_{-1/2}^{1/2}\left(\cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+2x+3\right)\,dx
=\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}2x\,dx +\int_{-1/2}^{1/2}3\,dx.

Passo 3

Vou analisar a paridade (par/ímpar) da primeira parcela
g(x)=\cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Definições rápidas (útil para a prova): uma função f é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x). Propriedade importante: se f é ímpar então \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
Agora verifico componentes de g:
  • A função \sin x é ímpar, pois \sin(-x)=-\sin x.
  • A função \cos u é par (em u), pois \cos(-u)=\cos u. Logo, composta com \sin x, \cos(\sin x) satisfaz
\cos(\sin(-x))=\cos(-\sin x)=\cos(\sin x),
ou seja, \cos(\sin x) é par.
  • A função h(x)=\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) verifica
h(-x)=\ln\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=-\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=-h(x),
logo h é ímpar.
Produto de uma função par por uma ímpar é ímpar. Portanto g(x) é ímpar. Como o intervalo é simétrico em torno de zero, pela propriedade das funções ímpares:
\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\sin x)\cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\,dx=0.
(Pequena demonstração da propriedade para a prova: se f é ímpar então \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)\,dx=\int_{0}^{a}f(x)-f(x)\,dx=0.)

Passo 4

Analiso a segunda parcela \displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}2x\,dx.
A função x\mapsto 2x é ímpar (porque (2x)(-x)=-2x). Logo, por ser ímpar em intervalo simétrico,
\int_{-1/2}^{1/2}2x\,dx=0.

Passo 5

Calculo a terceira parcela \displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}3\,dx.
Antiderivada de 3 é 3x. Avaliando nos limites,
\int_{-1/2}^{1/2}3\,dx=\left.3x\right|_{-1/2}^{1/2}=3\left(\tfrac{1}{2}-\big(-\tfrac{1}{2}\big)\right)=3\cdot 1=3.

Passo 6

Somando os resultados das três parcelas:
0 + 0 + 3 = 3.
Portanto a integral pedida vale 3.

Resposta

3

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