Faça o gráfico de uma função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} (não precisa colocar a lei que representa f ) tal que
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=4 ; \quad \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=-1 ; \quad \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=8

Passo 1

O enunciado pede um esboço de um gráfico de uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça
\lim_{x\to3^-}f(x)=-1,\quad \lim_{x\to3^+}f(x)=4,\quad \lim_{x\to5}f(x)=8.
Para garantir esses limites, vamos montar o gráfico em três “ramificações”: uma para x<3, outra para 3<x<5 e outra para x>5, ligando-as por círculos abertos nos pontos onde a função não precisa ser contínua.

Passo 2

Escolhemos um ramo simples para x<3 que se aproxime de -1 quando x chegar a 3. Por exemplo, a reta
y=2x-7,\quad x<3.
Repare que quando x\to3^-, y=2\cdot3-7=-1. No gráfico, desenhamos essa reta até x=3 e marcamos um círculo aberto em (3,-1).

Passo 3

Para 3<x<5, queremos que o limite pela direita em 3 seja 4 e que o limite pela esquerda em 5 seja 8. A reta
y=2x-2,\quad 3<x<5
faz exatamente isso, pois em x\to3^+ 2\cdot3-2=4 e em x\to5^- 2\cdot5-2=8. No gráfico, desenhamos essa reta para 3<x<5 e colocamos círculos abertos em (3,4) e em (5,8).

Passo 4

Para x>5, basta garantir que \lim_{x\to5^+}f(x)=8. Podemos usar, por exemplo, o ramo constante
y=8,\quad x>5.
Assim, ao nos aproximarmos de 5 pela direita, f(x) tende a 8. No gráfico, desenhamos a linha horizontal y=8 para x>5 com círculo aberto em (5,8).

Passo 5

Resumindo o esboço final:
  • Para x<3, reta y=2x-7 com círculo aberto em (3,-1).
  • Para 3<x<5, reta y=2x-2 com círculos abertos em (3,4) e (5,8).
  • Para x>5, linha horizontal y=8 com círculo aberto em (5,8).
Esse gráfico satisfaz \lim_{x\to3^-}f(x)=-1, \lim_{x\to3^+}f(x)=4 e \lim_{x\to5}f(x)=8.

Resposta

Esboço do gráfico da função:
  1. Ramo à esquerda x<3: reta y=2x-7, círculo aberto em (3,-1).
  2. Ramo do meio 3<x<5: reta y=2x-2, círculos abertos em (3,4) e (5,8).
  3. Ramo à direita x>5: reta horizontal y=8, círculo aberto em (5,8).

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