Questão 2.[2,50 pontos] Calcule a derivada direcional de f(x, y, z)=(\tan (x), \operatorname{sec} (y), \arctan (z)) no ponto \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, 0\right) e na direção do vetor v=(-1,4,0). Passo 1O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z) = \bigl(\tan(x),\,\operatorname{sec}(y),\,\arctan(z)\bigr) no ponto p = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{4},\,0\Bigr) e na direção do vetor v = (-1,\,4,\,0). O conteúdo aqui é cálculo de derivada direcional em funções vetoriais de várias variáveis, que se faz por D_{v}f(p) = Df(p)\cdot u, onde Df(p) é a matriz jacobiana de f em p e u é o vetor unitário na direção de v. Passo 2Primeiro encontramos o vetor unitário u = \frac{v}{\|v\|}. O comprimento de v é \|v\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{17}, logo u = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{17}},\,\tfrac{4}{\sqrt{17}},\,0\Bigr). Passo 3Agora calculamos a matriz jacobiana Df(x,y,z). Como f=(f_1,f_2,f_3) com f_1(x,y,z)=\tan(x),\quad f_2(x,y,z)=\operatorname{sec}(y),\quad f_3(x,y,z)=\arctan(z), temos as derivadas parciais \frac{\partial f_1}{\partial x} = \operatorname{sec}^2(x),\quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f_1}{\partial z} = 0, \frac{\partial f_2}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = \operatorname{sec}(y)\tan(y),\quad \frac{\partial f_2}{\partial z} = 0, \frac{\partial f_3}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f_3}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f_3}{\partial z} = \frac{1}{1+z^2}. Portanto Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} \operatorname{sec}^2(x) & 0 & 0\\[6pt] 0 & \operatorname{sec}(y)\tan(y) & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac1{1+z^2} \end{pmatrix}. Em p=(\pi/4,\pi/4,0) isso vira Df(p) = \begin{pmatrix} \operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac\pi4\bigr) & 0 & 0\\[6pt] 0 & \operatorname{sec}\bigl(\tfrac\pi4\bigr)\tan\bigl(\tfrac\pi4\bigr) & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac1{1+0^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sqrt{2}\cdot1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.] Passo 4Por fim fazemos D_{v}f(p) = Df(p)\cdot u = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{17}}\bigr)\\[6pt] \sqrt{2}\,\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\bigr)\\[6pt] 1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.] Resposta D_{v}f\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4},0\Bigr) = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 1.[2,50 pontos] Calcule a matriz jacobiana de f(x, y, z)=\left(\operatorname{sen}(x y z), z^{x+y}\right). Faça o gráfico de uma função f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} (não precisa colocar a lei que representa f ) tal que \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=4 ; \quad \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=-1 ; \quad \lim _{x \rightarrow 5} f(x)=8 Questão 4.[2,50 pontos] Considere a matriz \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -3 & 5 \\\\ 5 & -1 \end{array}\right) Imagine que essa matriz representa a matriz jacobiana de uma função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} no ponto (1,2,3). Podemos afirmar que (1,2,3) é um ponto crítico para f ? Justifique sua resposta. Questão 4(2,0) : Encontre a Série de Taylor de f(x)=\cos (2 x) em torno de a=\pi.