Questão 2.[2,50 pontos]
Calcule a derivada direcional de f(x, y, z)=(\tan (x), \operatorname{sec} (y), \arctan (z)) no ponto \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, 0\right) e na direção do vetor v=(-1,4,0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z) = \bigl(\tan(x),\,\operatorname{sec}(y),\,\arctan(z)\bigr)
no ponto
p = \Bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{4},\,0\Bigr)
e na direção do vetor
v = (-1,\,4,\,0).
O conteúdo aqui é cálculo de derivada direcional em funções vetoriais de várias variáveis, que se faz por
D_{v}f(p) = Df(p)\cdot u,
onde Df(p) é a matriz jacobiana de f em p e u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor unitário
u = \frac{v}{\|v\|}.
O comprimento de v é
\|v\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{17},
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u = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{17}},\,\tfrac{4}{\sqrt{17}},\,0\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos a matriz jacobiana Df(x,y,z). Como f=(f_1,f_2,f_3) com
f_1(x,y,z)=\tan(x),\quad f_2(x,y,z)=\operatorname{sec}(y),\quad f_3(x,y,z)=\arctan(z),
temos as derivadas parciais
\frac{\partial f_1}{\partial x} = \operatorname{sec}^2(x),\quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f_1}{\partial z} = 0,
\frac{\partial f_2}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = \operatorname{sec}(y)\tan(y),\quad \frac{\partial f_2}{\partial z} = 0,
\frac{\partial f_3}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial f_3}{\partial y} = 0,\quad \frac{\partial f_3}{\partial z} = \frac{1}{1+z^2}.
Portanto
Df(x,y,z) = \begin{pmatrix} \operatorname{sec}^2(x) & 0 & 0\\[6pt] 0 & \operatorname{sec}(y)\tan(y) & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac1{1+z^2} \end{pmatrix}.
Em p=(\pi/4,\pi/4,0) isso vira
Df(p) = \begin{pmatrix} \operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac\pi4\bigr) & 0 & 0\\[6pt] 0 & \operatorname{sec}\bigl(\tfrac\pi4\bigr)\tan\bigl(\tfrac\pi4\bigr) & 0\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac1{1+0^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sqrt{2}\cdot1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Por fim fazemos
D_{v}f(p) = Df(p)\cdot u = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & \sqrt{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{17}}\bigr)\\[6pt] \sqrt{2}\,\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}}\bigr)\\[6pt] 1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

D_{v}f\Bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4},0\Bigr) = \begin{pmatrix} -\tfrac{2}{\sqrt{17}}\\[4pt] \tfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.]

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